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楼主 |
isee
发表于 2022-12-6 12:36
源自知乎提问
题：已知 $(x-1)^2+(y-2)^2=1$ ，则 $\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的取值范围是_____.
Solution 1 数形结合
（正是前一阵子写过主楼的题，个人体会最佳方案正是数形结合“.）
由\[\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt 5\cdot \frac {\frac{2x+y}{\sqrt{2^2+1^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}},\] 转化为圆上一点 A 到直线 2x+y=0 的距离（点 A 在直线上的射影为 A'）与这点 A 到原点距离的比，即求 $\sqrt 5\sin AOA'$的范围，结果明显就是 OA 与圆两切相切时.
Solution 2 纯不等式
（而最麻烦的正是仅用不等式(一题一解)，比如这题也能凑出来：显然 $0\leqslant x\leqslant 2$， $1\leqslant y \leqslant 2$. ）
最小值
\[\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{1+\frac{x(3x+4y)}{x^2+y^2}}\geqslant \sqrt {1+0}=1.\] 当且仅当 $x=0,\;(y=2)$ 取得等号.
最大值
由柯西不等式容易求得 \[|3x-4y+5|\leqslant \sqrt{\big(9+(-4)^2\big)\big((x-1)^2+(y-2)^2\big)}=5.\] 即有 $3x-4y\leqslant 0,$ 另一方面明显的 $7x-24y<0$ ，于是 \[(3x-4y)(7x-24y)\geqslant 0\iff 4xy\leqslant \frac{21x^2}{25}+\frac{96y^2}{25},\] 所以 \[\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{\frac{4x^2+4xy+y^2}{x^2+y^2}}\leqslant\sqrt{\frac{4x^2+ \frac{21x^2}{25}+\frac{96y^2}{25}+y^2}{x^2+y^2}}=\frac{11}5.\] 当且仅当 $3x=4y$ 即 $(x,y)=(8/5,6/5)$ 时取得等号.
Solution 3 化齐次
楼上的讨论（解法）.
Solution 4 ( Solution 5) 三角函数 (或 极坐标）
也就是 知乎@新之韧 的方式，这里稍改进一下：一半几何一半不等式，也是舒心(通用)的.
\begin{align*}
(x-1)^2&=1-(y-2)^2\\&=(y-1)(3-y)\\&=\frac 19(9y-9)(3-y)\\&\leqslant\frac19\big(\frac{9y-9+3-y}2\big)^2\\&=\frac 19(4y-3)^2\\\Rightarrow \frac yx&\geqslant\frac 34.\end{align*} 于是 \[\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin \theta+2\cos\theta=\sqrt 5\sin(\theta+\arctan 2),\] 其中 $\sin\theta=\frac y{\sqrt{x^2+y^2}},\;\cos\theta=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}$ 即 \[\theta=\arctan \dfrac yx\in[\arctan 4/3,\pi/2],\]于是 \[\theta+\arctan 2\in[\arctan 4/3+\arctan 2,\pi/2+\arctan 2],\] 从而（注意 $\arctan 4/3+\arctan 2>2\arctan 1=\pi/2$ ) $y=\sqrt 5\sin (\theta+\arctan 2)$ 单调递减.
\[\frac{2x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt 5\sin(\theta+\arctan 2)\in[1,11/5].\] |
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kuing
发表于 2022-9-25 00:43
