余切换元求函数值域

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源自知乎提问

题：函数 $y=\sqrt{1+x^2}+x$ 的值域为______.

可令 $x=\cot u,0<u<\pi$ ，则 \begin{align*}
y&=\sqrt{1+x^2}+x\\[1ex]
&=\sqrt{1+\cot^2u}+\cot u\\[1ex]
&=\frac1{\sin u}+\frac{\cos u}{\sin u}\\[1ex]
&=\frac{2\cos^2\frac u2}{2\sin\frac u2\cos\frac u2}\\[1ex]
&=\cot \frac u2\in(0,+\infty).
\end{align*}

战巡

令$x=\sinh(t)$，$t\in\mathbb{R}$
则
\[y=\cosh(t)+\sinh(t)=e^t\]