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源自知乎提问
终于动手把证明写了~~~~~~
题：点 O 与三角形 ABC 共面，若 $\sin2A\cdot \overrightarrow {OA}+\sin2B\cdot \overrightarrow {OB}+\sin2C\cdot \overrightarrow {OC}=\vec 0$ 成立的充要条件为点 O 为三角形 ABC 的外心.
先看：若点 O 为三角形 ABC 的外心，则 $\sin2A\cdot \overrightarrow {OA}+\sin2B\cdot \overrightarrow {OB}+\sin2C\cdot \overrightarrow {OC}=\vec 0$ 成立.
图 1
设 $AO$ 交 BC 于 Q，如图 1 所示，则有 \begin{align*}
\overrightarrow {AO}&=\frac{AO}{AQ}\overrightarrow{AQ}\\[1ex]
&=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ABQ}}\frac{S_{\triangle ABQ}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AC}+\frac{S_{\triangle ACO}}{S_{\triangle ACQ}}\frac{S_{\triangle ACQ}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AB}\\[1ex]
&=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AC}+\frac{S_{\triangle ACO}}{S_{\triangle ABC}}\overrightarrow{AB}\\[1ex]
&=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ABC}}\big(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\big)+\frac{S_{\triangle ACO}}{S_{\triangle ABC}}\big(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\big)\\[1ex]
\Rightarrow &\;S_{\triangle BOC}\overrightarrow{OA}+S_{\triangle CAO}\overrightarrow{OB}+S_{\triangle ABO}\overrightarrow{OC}=\vec 0,
\end{align*} 又点 $O$ 为三角形外心，于是有 \[\sin2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2C\cdot\overrightarrow{OC}=\vec 0.\]
再看：若 $\sin2A\cdot \overrightarrow {OA}+\sin2B\cdot \overrightarrow {OB}+\sin2C\cdot \overrightarrow {OC}=\vec 0$ 则点 O 是三角形ABC 的外心.
即有且仅有外心 O 满足上式.
同一法，若还有另一点 $Q$ 满足 $\sin2A\cdot \overrightarrow {QA}+\sin2B\cdot \overrightarrow {QB}+\sin2C\cdot \overrightarrow {QC}=\vec 0$，则将这两式相减有 \begin{gather*}
\sin2A\cdot \big(\overrightarrow {QA}-\overrightarrow {OA}\big)+\sin2B\cdot \big(\overrightarrow {QB}-\overrightarrow {OB}\big)+\sin2C\cdot \big(\overrightarrow {QC}-\overrightarrow {OC}\big)=\vec 0\\[1ex]
\sin2A\cdot \overrightarrow {QO}+\sin2B\cdot \overrightarrow {QO}+\sin2C\cdot \overrightarrow {QO}=\vec 0\\[1ex]
\big(\sin2A+\sin 2B+\sin 2C\big)\overrightarrow {QO}=\vec 0\\[1ex]
\Rightarrow \; \overrightarrow {QO}=\vec 0.
\end{gather*} 即点 $Q$ 与外心 $O$ 重合. |
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