平面向量问题

AK007

已知 $I$ 为 $\triangle A B C$ 内一点，$B C=5, A C=13,A B=12 $。若
\[
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A I}=\frac{13}{30} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C} \\
& \overrightarrow{B I}=m\left(\frac{\overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B C}|}+\frac{\overrightarrow{B A}}{|\overrightarrow{B A}|}\right)
\end{aligned}
\]
（1）求 $|\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{B I}|$ 的值；
（2）若点 P 在 $▵B I C$ 内（含边界），且 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$，求 $\lambda+\mu$ 的取值范围；
（3）若点M在线段 $B C$ 上，且 $\overrightarrow{A M}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}+\mu \overrightarrow{A B}$，求点M到线段 $C I$ 的距离．

这个题第2小题怎么做

realnumber

B为原点,BA为x轴,BC为y轴建立平面直角坐标系,可得I(2,2),直线BI,BC,IC方程都可以得到
设P(x,y),因为在三角形BIC内,可以(由直线BI,BC,IC方程)得到不等式组,$x\le y$且$0\le x$且$3x+2y\le 10$
再由$\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$,
$(x-12,y)=\lambda (-12,0)+\mu (-12,5)$,en,线性规划学了吗?
$\mu=\frac{y}{5},\lambda=1+\frac{y}{5}-\frac{x}{12}$,ps计算老是算错

AK007

realnumber 发表于 2025-3-22 18:22
B为原点,BA为x轴,BC为y轴建立平面直角坐标系,可得I(2,2),直线BI,BC,IC方程都可以得到
设P(x,y),因为在三角 ...

不用线性规划可以做吗

realnumber

AK007 发表于 2025-3-22 22:47
不用线性规划可以做吗

(以下做法避开提线性规划,说数形结合)
$x,y$取值范围可以得到
记$\lambda +\mu=t=1+\frac{2y}{5}-\frac{x}{12}$,解得$x=12+\frac{24y}{5}-12t$,代入以上不等式组,得到关于t,y两个变量的不等式组.从中确定t的取值范围(需要检验相应的t值,有无对应的x,y值,即代回原不等式组,能否成立).

AK007

• 确定向量 $\overrightarrow{A I}$ 和 $\overrightarrow{B I}$：
  • 已知 $\overrightarrow{A I}=\frac{13}{30} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$。
  • 由于 $\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{A I}-\overrightarrow{A B}$ ，我们可以计算出 $\overrightarrow{B I}$。
• 确定点 $P$ 的位置：
  
  • 点 $P$ 在 $\triangle B I C$ 内（含边界），所以 $\overrightarrow{A P}$ 可以表示为 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu$ $\overrightarrow{A C}$。
  • 由于 $P$ 在 $\triangle B I C$ 内，$\lambda$ 和 $\mu$ 必须满足 $\lambda+\mu \leq 1$ 且 $\lambda, \mu \geq 0$。
• 求 $\lambda+\mu$ 的取值范围：
  
  • 由于 $P$ 在 $\triangle B I C$ 内，$\lambda+\mu$ 的最大值为 1 （当 $P$ 在边 $B C$ 上时）。
  • 最小值发生在 $P$ 与 $I$ 重合时，即 \[\lambda+\mu=\frac{13}{30}+\frac{2}{5}=\frac{13}{30}+\frac{12}{30}=\frac{25}{30}= \frac56\]因此，$\lambda+\mu$ 的取值范围是 $\left[\frac{5}{6}, 1\right]$。

这样做对吗