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源自知乎提问
此问题下，事实上，命题 1 并不需要限制点 O 的位置.
命题 1：对不同的三点 A，B，P，若 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 且 $m+n=1$ ，则点 A，B，P 三点共线.
首先，由共线向量定理，对不同的三点 $X,Y,Z$ ，若 $\overrightarrow{XY}=\lambda \overrightarrow {XZ}$ ，则 $X,Y,Z$ 三点共线. 注意，由于 X, Z 是不同的两点，因而 $ \overrightarrow {XZ}\ne\overrightarrow 0$ ，即 $ \overrightarrow {XZ}$ 是非零向量.
于是 \begin{gather*}
\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB},\\[1ex]
\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+(1-m)\overrightarrow{OB},\\[1ex]
\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=m\big(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\big),\\[1ex]
\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{BA}
\end{gather*} 由共线向量定理，知命题成立.
但是反过来，其逆命题就需要限定点 O 不在直线 AB 上：
命题 2：对不同的三点 A，B，P，且点 O 不在直线 AB上，若 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 且点 A，B，P 三点共线，则 $m+n=1$ .
这里要限定 O 不在直线 AB 上，否则有反例：取点 O 与 P 重合，则 \begin{gather*}
\overrightarrow{0}=m\overrightarrow{PA}+n\overrightarrow{PB},
\end{gather*} 此式表示 $\overrightarrow{PA},\,\overrightarrow{PB}$ 共线，而这是事实，这里 m，n 任意非零实数，不满足 m+n=1.
具体问题中，为了让命题 1 为充要条件，就通常补充限定 点 O 不在直线 AB 上，这是可行的. |
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