向量模的取值范围

力工

单位向量$\vv{a},\vv{b}$的夹角为$60\du $,则$|(1-t)\vv{a}-t\vv{b}|+\frac{|t(\vv{a}+\vv{b})|}{2}$的范围是多少？

realnumber

$f(t)=\sqrt{3t^2-3t+1}+\frac{\sqrt 3}{2}\abs{t}$
要取最小值，t>0,求导试了下，在$t=\frac{1}{3}$取到.

Ly-lie

如果去掉$\bm a$,$\bm b$为单位向量的条件，如何用$\bm a$,$\bm b$的模长表示原式的最小值呢？

力工

realnumber 发表于 2023-5-29 14:10
$f(t)=\sqrt{3t^2-3t+1}+\frac{\sqrt 3}{2}\abs{t}$
要取最小值，t>0,求导试了下，在$t=\frac{1}{3}$取到. ...

我也是这样想的，但开始没敢这样算，怕！转头用画图，后来有空了，发现$3t^2-3t+1\geqslant \frac{3(1-t)^2}{4}$，简直是天作之合。

Ly-lie

Ly-lie 发表于 2023-5-29 18:53
如果去掉$\bm a$,$\bm b$为单位向量的条件，如何用$\bm a$,$\bm b$的模长表示原式的最小值呢？ ...

采用数形结合，如图，设$\vv{AB}=\vv{a},\vv{AD}=\vv{b}$,反向倍长$AD$至$C$,则原式的值即为$AE+\frac{1}{2}BE$,其中$t$的值为$\frac{BE}{BC}$,直接用$a,b$表示两个向量的模，以$BA$为长直角边构造一个$ 30\du $的直角三角形，由托勒密不等式得$$AE+\frac{1}{2}BE\ge \frac{\sqrt{3}}{2}EF\ge a\sin (30^\circ +\angle CBA)$$接下来就是解三角形得到结果$\frac{a^2+2ab}{2\sqrt {a^2+b^2+ab}}$