两个小题 向量 三角形

facebooker

1.已知非零平面向量$\vv{a},\vv{b},\vv{c},$满足 $|\vv{a}|=5,2|\vv{b}|=|\vv{c}|,$ 且 $(\vv{b}-\vv{a})\cdot (\vv{c}-\vv{a})=\bm{0}$, 则$|\vv{b}|$的最小值___
2.$ A,B,C$是$△ABC$的三个内角，则$3\cos A+2\cos 2B+\cos 3C$的取值范围___

realnumber

1.如图,$\vv{OA}=\vv{a},\vv{OB}=\vv{b},\vv{OC}=\vv{c}$,对于某个特定的角BAO,要使$\abs{\vv{b}}$尽可能小,则OB垂直BA,
减小角BAO时,$\abs{\vv{b}}$变小,直到不存在C,临界点是,$\abs{\vv{b}}=x,x^2+(2x)^2=5^2,x=\sqrt{5}$

kuing

\[(\bm b-\bm a)\cdot(\bm c-\bm a)=0\iff\bm b\cdot\bm c+\bm a^2=\bm a\cdot(\bm b+\bm c),\]
平方得
\[(\bm b\cdot\bm c+\bm a^2)^2=\bigl(\bm a\cdot(\bm b+\bm c)\bigr)^2\leqslant\bm a^2(\bm b+\bm c)^2,\]
展开即
\[(\bm b\cdot\bm c)^2+\bm a^4\leqslant\bm a^2(\bm b^2+\bm c^2),\]
由 `(\bm b\cdot\bm c)^2\geqslant0` 及条件 `\bm c^2=4\bm b^2`，得到
\[\bm a^4\leqslant5\bm a^2\bm b^2\iff\bm b^2\geqslant\frac{\bm a^2}5=5,\]
取等略。

kuing

装逼恒等式解法：注意到
\[\bm b^2+\bm c^2-\bm a^2+2(\bm b-\bm a)\cdot(\bm c-\bm a)=(\bm b+\bm c-\bm a)^2\geqslant0,\]
由条件，上式即 `5\bm b^2-\bm a^2\geqslant0`，所以 `\bm b^2\geqslant5`。

facebooker

kuing 发表于 2023-5-25 16:47
装逼恒等式解法：注意到
\[\bm b^2+\bm c^2-\bm a^2+2(\bm b-\bm a)\cdot(\bm c-\bm a)=(\bm b+\bm c-\bm a ...

期望的装逼解法终于出现了。。。

顺便看看第二题吧 猜答案容易 严谨的解法怎么弄呢？

kuing

facebooker 发表于 2023-5-25 18:41
期望的装逼解法终于出现了。。。

顺便看看第二题吧 猜答案容易 严谨的解法怎么弄呢？ ...

第二题上界简单，下界还没想出来。

记 $T=3\cos A+2\cos 2B+\cos 3C$，显然有 `T<3+2+1=6`，而当 `A=C\to0`, `B\to\pi` 时，`T\to6`，所以上确界为 `6`。

下界待续……

kuing

facebooker 发表于 2023-5-25 18:41
期望的装逼解法终于出现了。。。

顺便看看第二题吧 猜答案容易 严谨的解法怎么弄呢？ ...

下界我连猜答案都猜不出来，你怎么猜的？

isee

kuing 发表于 2023-5-26 21:53
下界我连猜答案都猜不出来，你怎么猜的？

由这个帖可知源：2023年全国高中数学联赛四川省预赛试题，填空题的最后一个，其结果为 (-25/16,6).

facebooker

kuing 发表于 2023-5-26 21:53
下界我连猜答案都猜不出来，你怎么猜的？

我是用拉乘猜的 一定在边界取得上下限 然后就C→0  或者 A→0 挨个算

kuing

噢，这么说，应该是 C=0，B=arccos(3/8)，A=180°-B 时取？

facebooker

kuing 发表于 2023-5-27 01:01
噢，这么说，应该是 C=0，B=arccos(3/8)，A=180°-B 时取？

是的

O-17

星的解法

kuing

isee 发表于 2023-5-26 22:42
由这个帖可知源：2023年全国高中数学联赛四川省预赛试题，填空题的最后一个，其结果为 (-25/16,6). ...

一个预赛题水竟然有这么深，真想看看命题人怎么解的🤔

Ly-lie

又发现一个解法，好像也不简单：mp.weixin.qq.com/s/uIIYws3wV_0m6GIo3YmuFg，这套题的标答填空题没有过程……