$G$是$\triangle ABC$的重心，过$G$作直线交三边于$X,Y,Z$，求证$\sum\vv{1/GX}=0$

abababa

$G$是$\triangle ABC$的重心，过$G$作直线分别交$BC,CA,AB$于$X,Y,Z$，求证$\vv{\frac{1}{GX}}+\vv{\frac{1}{GY}}+\vv{\frac{1}{GZ}}=0$。

有没有什么向量的证法？相对直接一点的。

kuing

`\vv{1/AB}` 怎么定义😳

abababa

kuing 发表于 2024-2-17 21:43
`\vv{1/AB}` 怎么定义😳

$\vv{1/GX}$定义为$\vv{GX}$的方向，大小为$\frac{1}{GX}$。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-2-17 13:43
`\vv{1/AB}` 怎么定义

他所说可能是一些1D有向线段的加法，因为这些点共线
size(5cm);

pair A, B, C, G, X, Y, Z;

// Define the vertices of the triangle
A = (0, 0);
B = (1, 0);
C = (.7, .6);
// Calculate the centroid
G = (A + B + C) / 3;

// Calculate the intersection points
X = extension(G, G + dir(-40), B, C);
Y = extension(G, G + dir(-40), C, A);
Z = extension(G, G + dir(-40), A, B);

// Draw the triangle
draw(A--B--C--cycle);

// Draw the lines passing through the centroid
draw(G--X, dashed);
draw(G--Y, dashed);
draw(G--Z, dashed);

// Draw the centroid
dot(G);
label("$G$", G, SW);

// Label the vertices
dot(A);
dot(B);
dot(C);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, N);

// Label the intersection points
dot(X);
dot(Y);
dot(Z);
label("$X$", X, NE);
label("$Y$", Y, NW);
label("$Z$", Z, SW);

例如上图中，$\displaystyle\frac1{|GY|}=\frac1{|GX|}+\frac1{|GZ|}$

hbghlyj

abababa 发表于 2024-2-17 13:36
相对直接一点的。

一个非常直接的证明:
size(5cm);

pair A, B, C, G, X, Y, Z;

// Define the vertices of the triangle
A = (0, 0);
B = (1, 0);
C = (.7, .6);
// Calculate the centroid
G = (A + B + C) / 3;

// Calculate the intersection points
X = extension(G, G + dir(-40), B, C);
Y = extension(G, G + dir(-40), C, A);
Z = extension(G, G + dir(-40), A, B);

// Draw the triangle
draw(A--B--C--cycle);

// Draw the lines passing through the centroid
draw(G--X, dashed);
draw(G--Y, dashed);
draw(G--Z, dashed);

// Draw the centroid
dot(G);
label("$G$", G, SW);

// Label the vertices
dot(A);
dot(B);
dot(C);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, N);

// Label the intersection points
dot(X);
dot(Y);
dot(Z);
label("$X$", X, NE);
label("$Y$", Y, NW);
label("$Z$", Z, SW);
pair Y1=G+2(G-Y);
dot(Y1);
label("$Y_1$",Y1,S);
取点$ Y_1 $，$\vv{GY_1}=-2\vv{GY}\implies BY_1\px AC$
因为$BG$是$\triangle ABC$的中线，
$BG,BA,BY_1,BC$调和，
$\implies G,Z,Y_1,X$调和，
$\implies\frac2{|GY_1|}=\frac1{|GX|}+\frac1{|GZ|}$
$\implies\frac1{|GY|}=\frac1{|GX|}+\frac1{|GZ|}$

kuing

设过 `G` 那条直线上的单位向量为 `\bm e`，设 `\vv{GX}=x\bm e`, `\vv{GY}=y\bm e`, `\vv{GZ}=z\bm e`，要证的就是 `1/x+1/y+1/z=0`。

由 `X` 在直线 `BC` 上、`Y` 在直线 `CA` 上、`Z` 在直线 `AB` 上，知存在 `\lambda_1`, `\lambda_2`, `\lambda_3` 使
\begin{align*}
\bm e&=\frac{\vv{GX}}x=\frac{\lambda_1\vv{GB}+(1-\lambda_1)\vv{GC}}x,\quad(1)\\
\bm e&=\frac{\vv{GY}}y=\frac{\lambda_2\vv{GC}+(1-\lambda_2)\vv{GA}}y\\
&=\frac{\lambda_2\vv{GC}+(1-\lambda_2)\bigl(-\vv{GB}-\vv{GC}\bigr)}y\\
&=\frac{(\lambda_2-1)\vv{GB}+(2\lambda_2-1)\vv{GC}}y,\quad(2)\\
\bm e&=\frac{\vv{GZ}}z=\frac{\lambda_3\vv{GA}+(1-\lambda_3)\vv{GB}}z\\
&=\frac{\lambda_3\bigl(-\vv{GB}-\vv{GC}\bigr)+(1-\lambda_3)\vv{GB}}z\\
&=\frac{(1-2\lambda_3)\vv{GB}+(-\lambda_3)\vv{GC}}z,\quad(3)
\end{align*}
那么式 (1)(2)(3) 的对应系数相等，因此可设
\begin{gather*}
\frac{\lambda_1}x=\frac{\lambda_2-1}y=\frac{1-2\lambda_3}z=t,\\
\frac{1-\lambda_1}x=\frac{2\lambda_2-1}y=\frac{-\lambda_3}z=u,
\end{gather*}
由此可得
\begin{align*}
t+u&=\frac1x,\\
u-2t&=\frac1y,\\
t-2u&=\frac1z,
\end{align*}
三式相加即得证。

kuing

网友 @wwdwwd1/17 的证法：

  生如夏花(2365*****) 2024/2/18 13:04:50

看看有没有问题

中间那里为啥 `=(3\lambda-2)\vv{GY}`，我的理解是：
首先 `GXY` 共线就可设 `\vv{GX}=k\vv{GY}`，结合图中所推，那就是 `k\vv{GY}=(2\lambda-1)\vv{GA}+(\lambda-1)\vv{GC}`，而 `YAC` 共线，所以 `k=2\lambda-1+\lambda-1=3\lambda-2`。

后来 wwd 是这样说嘀：

  生如夏花(2365*****)  13:54:06
提取 3λ-2 后剩下系数和为 1，说明对应的点在直线 AC 上，又与 GX 共线，那就是 Y 了

abababa

kuing 发表于 2024-2-18 13:57
网友 wwdwwd1/17 的证法：

中间那里为啥 `=(3\lambda-2)\vv{GY}`，我的理解是：

谢谢，觉得这个证明就很好。主要是都用$\vv{GX}$表示时弄了一个新的参数$\mu=\frac{2\lambda-1}{3\lambda-2}$，我就是卡在这里没表示出来。