动点及向量最值问题

lrh2006

已知A,B为圆$ O:x^2+y^2=5 $上的两个动点，AB=4，M为线段AB的中点，点P为直线l:x+y-6=0上一动点，则$ \vv{PM} \cdot \vv{PB}$的最小值为多少？
请教各位巨佬，谢谢！

kuing

记 MB 中点为 N，则
\[\vv{PM}\cdot\vv{PB}=\frac{(\vv{PM}+\vv{PB})^2-(\vv{PM}-\vv{PB})^2}4=PN^2-1,\]
易知 OM = 1，`ON=\sqrt2`，而 PN + NO ≥ O 到直线 l 的距离，即得 `PN\geqslant2\sqrt2`，所以 `\vv{PM}\cdot\vv{PB}\geqslant7`。

lrh2006

哎，我怎么忘记了极化恒等式，不过后面的转化想不到，谢谢kk