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isee
发表于 2024-9-15 22:30
可以参考（源自知乎提问）<--链接中有详见的几何法.
此题有点意思，做个记录——
提炼出来就是：
$\bm a,\,\bm b,\,\bm c$ 三空间向量的两两夹角为 $60^\circ$ ，且其模分别对应为 2，6，2.
若 $\bm y(\bm y+\bm a-\bm b)=0$ ， $\bm x \bm c=12$ ，求 $\left|\bm y-\bm x\right|$ 的最小值.
将条件改写为 \begin{gather*}
\left(\bm y+\frac{\bm a-\bm b}2\right)^2=\frac{(\bm a-\bm b)^2}4=7,
\end{gather*} 也就是 $\left|\bm y+\frac{\bm a-\bm b}2\right|=\sqrt7$ .
另一方面 \begin{equation*}
\frac{\bm a-\bm b}2\cdot\bm c=\frac{\bm a\bm c-\bm b\bm c}{2}=\frac{2-6}2=-2,
\end{equation*}
从而 \begin{align*}
10=12-2&=\bm x\bm c+\frac{\bm a-\bm b}2\cdot\bm c\\[1em]
&=\left(\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2\right)\bm c\\[1em]
&\leqslant\left|\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2\right| \cdot 2,\\[1ex]
\Rightarrow \left|\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2\right|&\geqslant 5
\end{align*} 由向量三角形不等式知 \begin{align*}
\left|\bm y-\bm x\right|&=\left|\bm x +\frac{\bm a-\bm b}2-\left(\bm y+\frac{\bm a-\bm b}2\right)\right|\\[1em]
&\geqslant \left|\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2\right|-\left|\bm y +\frac{\bm a-\bm b}2\right|\\[1em]
&=\left|\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2\right|-\sqrt7\\[1ex]
&\geqslant 5-\sqrt7.
\end{align*} 当且仅当 $\bm x+\frac{\bm a-\bm b}2$ ， $\bm c$ ， $\bm y+\frac{\bm a-\bm b}2$ 共向共线时取得等号. |
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