平面向量中的求取值范围问题

lrh2006

已知$\vv{a}\perp \vv{b}  $，$ |\vv{a}-\vv{b}| $=6，$ (\vv{c}-\vv{a})\cdot(\vv{c}-\vv{b})=-18 $，求$ \vv{c}\cdot (\vv{a}+\vv{b}) $的取值范围.
我和答案对不上，想问问答案是多少，以及大家是怎么做的？谢谢！

kuing

题是不是打错了，利用 `4xy=(x+y)^2-(x-y)^2` 得
\begin{align*}
-72&=4\cdot(\bm c-\bm a)\cdot(\bm c-\bm b)\\
&=(2\bm c-\bm a-\bm b)^2-(\bm a-\bm b)^2\\
&=(2\bm c-\bm a-\bm b)^2-36,
\end{align*}
得到 `(2\bm c-\bm a-\bm b)^2=-36`？

lrh2006

写错了，=-8，不是-18

色k

lrh2006 发表于 2023-2-9 06:54
写错了，=-8，不是-18

那根据2楼的方法你应该已经会了吧？

lrh2006

kk你再写一点嘛

kuing

lrh2006 发表于 2023-2-9 17:03
kk你再写一点嘛

呃，根据 2#，改回数字之后，最后就是 `(2\bm c-\bm a-\bm b)^2=4`，也就是 `\abs{2\bm c-\bm a-\bm b}=2`，且 `\abs{\bm a+\bm b}=\abs{\bm a-\bm b}=6`，下面就不用我说了吧？

lrh2006

kk啊，要是我说还不是很明白，你是不是会打我。我知道这里有矩形，也知道c的轨迹，但是答案对不上，心里不踏实，求求你帮我算一下吧

kuing

lrh2006 发表于 2023-2-9 20:17
kk啊，要是我说还不是很明白，你是不是会打我。我知道这里有矩形，也知道c的轨迹，但是答案对不上，心里不 ...

记 `\bm a+\bm b=\bm x`，那就是 `\abs{\bm x}=6`, `\abs{2\bm c-\bm x}=2`。

看几何意义的话，那 `2\bm c` 的终点轨迹就是以 `\bm x` 终点为圆心，半径为 `2` 的圆，于是 `2\bm c\cdot\bm x` 的范围显然就是 `[(6-2)\times6,(6+2)\times6]=[24,48]`，答案就是 `[12,24]`。

不看几何意义的话，对 `\abs{2\bm c-\bm x}=2` 平方得 `4\bm c^2-4\bm c\cdot\bm x+36=4`，即 `\bm c\cdot\bm x=\bm c^2+8`，而 `\abs{\bm x}-\abs{2\bm c-\bm x}\leqslant\abs{2\bm c}\leqslant\abs{\bm x}+\abs{2\bm c-\bm x}`，即 `2\leqslant\abs{\bm c}\leqslant4`，所以 `12\leqslant\bm c\cdot\bm x\leqslant24`。

lrh2006

谢谢kk，你太好啦！跟我做的结果一样，还给了我新的启发哈哈哈。对不起，让你受累啦，谢谢谢谢

kuing

lrh2006 发表于 2023-2-9 23:50
谢谢kk，你太好啦！跟我做的结果一样，还给了我新的启发哈哈哈。对不起，让你受累啦，谢谢谢谢 ...

再好还是单身🐶🥺