两个二次曲线在两个不同点相切，证明共线

hbghlyj

给定两个圆锥曲线$g,h$，使得它们在两个不同的点 $A$ 和 $B$ 处有两条公切线。设两条切线的交点为点$O$。
在 $g$ 上选择一个点 $F$。令$l$ 为$g$ 在$F$ 处的切线，并在$C$ 和$D$ 两点处与$h$ 相交。令 $c,d$ 分别为 $h$ 在 $C,D$ 处的切线，并在 $M$ 处相交。证明 $O$ 、 $M$ 和 $F$ 共线。

kuing

不妨设 `O` 为原点，曲线 `g` 为 `g(x,y)=0`，其中
\[g(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F,\]
则切点弦 `AB` 为 `O` 关于 `g` 的极线，易知为 `Dx+Ey+F=0`，因此曲线 `h` 必可表示为
\[g(x,y)+\lambda(Dx+Ey+F)^2=0,\]
其中 `\lambda\inR`，设 `g` 上的点 `F(x_1,y_1)`，则直线 `CD` 为
\[Ax_1x+B(x_1y+y_1x)+Cy_1y+D(x_1+x)+E(y_1+y)+F=0,\]
设 `M(x_2,y_2)`，则 `CD` 是 `M` 关于 `h` 的极线，因此 `CD` 又为
\begin{align*}
&Ax_2x+B(x_2y+y_2x)+Cy_2y+D(x_2+x)+E(y_2+y)+F\\
&+\lambda(Dx_2+Ey_2+F)(Dx+Ey+F)=0,
\end{align*}
以上两方程为同一直线，则存在实数 `\mu` 使得
\begin{align*}
&Ax_2x+B(x_2y+y_2x)+Cy_2y+D(x_2+x)+E(y_2+y)+F\\
&+\lambda(Dx_2+Ey_2+F)(Dx+Ey+F)\\
={}&\mu\cdot\bigl(Ax_1x+B(x_1y+y_1x)+Cy_1y+D(x_1+x)+E(y_1+y)+F\bigr),
\end{align*}
比较常数项可得
\[\mu=\frac{(1+\lambda F)(Dx_2+Ey_2+F)}{Dx_1+Ey_1+F},\]
回代后再比较 `x`, `y` 的系数便可解得
\[(x_2,y_2)=\left(\frac{(1+\lambda F)x_1}{1-\lambda(Dx_1+Ey_1)},\frac{(1+\lambda F)y_1}{1-\lambda(Dx_1+Ey_1)}\right),\]
所以 `O`, `F`, `M` 共线。

kuing

楼上的后半段不知有没有更简洁或更高级的处理方法，感觉或许可以用线性代数的东东来写？

另外，结论如此漂亮，是否有射影几何解释？

abababa

发maven的证明：
设 AB, CD 交于 P，则在绿图中 O 的极线 AB 过 P，F 的极线 CD 过 P，所以 P 的极线是 OF。在红图中 M 的极线 CD 过 P，O 的极线 AB 过 P，所以 P 的极线是 OM。

选 O(1,0,0),A(0,1,0),B(0,0,1) 为坐标三角形，立即可知红绿全是抛物线，把 F 选成 (1,1,1)，则红绿矩阵分别是

[2a,0,0]
[0,0,-a]
[0,-a,0]
和
[b,0,0]
[0,0,c]
[0,c,0]

显然 F 对绿图的切线 CD 的方程是 (2a,-a,-a) = (-2,1,1)，AB = (1,0,0)，从而 P = (0,1,-1)。显然 OF = (0,-1,1)，而 P 对红图的极线 OM  = P.红 = (0,-c,c) = (0,-1,1) = OF，所以 OFM 共线。

abababa

kuing 发表于 2024-3-19 08:43
不妨设 `O` 为原点，曲线 `g` 为 `g(x,y)=0`，其中
\[g(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F,\]
则切点弦 `AB`  ...

这个曲线$h$的方程是$g(x,y)+\lambda(Dx+Ey+F)$的，我用GeoGebra来画，比如$g(x)=x^2+2xy+3y^2+2x+2y-6$，然后$h(x,y)$的形式就是$g(x)+k(x+y-6)^2$。这时我设了一个滑杆$k$，变动范围是$-50,50$。但是滑动滑杆时，我发现只有重合的情况能相切，其它情况都不相切。请问我这是什么地方弄错了？

kuing

abababa 发表于 2024-3-23 13:42
这个曲线$h$的方程是$g(x,y)+\lambda(Dx+Ey+F)$的，我用GeoGebra来画，比如$g(x)=x^2+2xy+3y^2+2x+2y-6$ ...

你这个 g(x) 原点在它内部，x+y-6（原点的极线）与它都不相交……

你可以改一下系数使原点在外面，比如 x^2 - 2 x y + 3 y^2 + 6 x - 8 y + 6

我上面用的原理是：若直线 L=0 与二次曲线 g(x,y)=0 相交于 A、B，则与 g 相切于 A、B 两点的二次曲线系为 g(x,y)+k*L^2=0。

abababa

kuing 发表于 2024-3-23 14:31
你这个 g(x) 原点在它内部，x+y-6（原点的极线）与它都不相交……

你可以改一下系数使原点在外面，比如  ...

原来如此，我到是看到点O了，就是没反应过来它就是原图里的点O，以为只是原点的记号而已。

abababa

这个题还有一种一般情况，设两点$F_1,F_2$在曲线$g$上，然后仍设$C,D$是$F_1F_2$与$h$的交点，这时设点$F$是$F_1F_2$关于$g$的极点，则仍有$O,M,F$三点共线。
而主楼的题目就是$F_1,F_2$重合的情况，此时$F_1F_2$是切线，极点$F$就成为切点$F$。

kuing

abababa 发表于 2024-3-23 19:38
这个题还有一种一般情况，设两点$F_1,F_2$在曲线$g$上，然后仍设$C,D$是$F_1F_2$与$h$的交点，这时设点$F$ ...

没错，而且我 2# 的证明完全适用该命题😇

abababa

abababa 发表于 2024-3-22 21:31
发maven的证明：
设 AB, CD 交于 P，则在绿图中 O 的极线 AB 过 P，F 的极线 CD 过 P，所以 P 的极线是 OF ...

按他这个选点的方法，那么点$O$就变成了$(1,0)$方向上的无穷远点，点$A$变成了$(0,1)$方向上的无穷远点，点$B$变成原点$(0,0)$。这时两条曲线有一个切点是$B$，另一个切点是无穷远点，两条曲线都是抛物线（之所以是抛物线，是因为这两个曲线都与直线$OA$相切，而现在$OA$变成了无穷远线，与无穷远线相切的就是抛物线），那就是$y^2=2p_1x,y^2=2p_2x$的形式。

再根据他把点$F$选在$(1,1)$，这样的话$g$的方程只能是$y^2=x$，点$F$关于$g$的极线（切线）$CD$的方程就是$x-2y+1=0$，点$M$是$CD$关于$h$的极点，而$h$的方程是$2px-y^2=0$，根据这帖可知极点$M$的坐标是$(1,2p)$，于是$FM$的方程就是$x=1$，这条线上的无穷远点就是$(1,0)$方向上的无穷远点$O$，就共线了。