垂直问题

力工

在$\triangle ABC$中，点$M$为$BC$的中点，圆$O$过点$A,C$且与直线$AM$相切，设$BA$的延长线与$\odot O$交于点$D$,$CD$的延长线与$MA$交于点$P$，求证：$OP\perp BC$.

乌贼

如图：
     构建等腰梯形$ ACBE $，$ G $为$ AB $与$ CE $交点，$ F $为$ MG $与$ OA $交点，$ \odot MBE $交$ AB $于$ J $。有\[ \angle JEF+\angle JEM=\angle JEF+\angle JBM=90\du =\angle MGB+\angle JBM\riff \angle FEJ=\angle MGB \]即$ EFJG $四点共圆，又$
\angle EGF=\angle AGF $，得\[ FJ=FE=AE \riff \dfrac{AF}{AJ}=\dfrac{AO}{AD}\]又\[ \angle BJM=\angle BEM=\angle MAC=\angle ADC\riff JM\px CD\riff \dfrac{AP}{AM}=\dfrac{AD}{AJ}=\dfrac{AF}{AO}\riff MJ\px PO\riff PO\perp BC \]