外接圆 中点 求证: NM=MD

hbghlyj

$\odot O$是△ABC外接圆，D是AB上一点，G是AD中点，H是DB中点，EG⊥AB交AC于E，FH⊥ AB交BC于F，DN⊥EF交EF于M，交$\odot O$于N，求证: NM=MD

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乌贼

回复 8# hbghlyj
没证出来，但发现一些有趣……
如图：
    $ \triangle ABC $，$ D $为$ AB $上一点，$ AD $的垂直平分线交$ AC $于$ E $，$ DB $的垂直平分线交$ BC $于$ F $，$ G、H、P、Q $分别为$ AD、DB、AC、BC $的中点，$ O $为$ \triangle ABC $外接圆圆心，$ K $为$ EF $与$ PQ $的交点。则有：（1）$ OK\perp EF $且$ EOFC $四点共园（2）$ DE\px HK $

乌贼

如图：
延长$ ND $交外接圆于$ Q $，取$ DQ $中点$ P $。连接$ AN 、BN、ED、GM、MH、DF、GP、PH $，有\[ \angle GMH=\angle GED+\angle DFH=\angle AEG+\angle BFH=\angle ACB=\angle ANB \]又\[ \angle GPH=\angle AQB\riff\angle GMH+\angle GPH=\angle ANB+\angle AQB=180\du  \]即$ GMHP $四点共园，故\[ \angle GMP=\angle GHP=\angle ABQ=\angle ANQ\\\riff AN\px GM\\\riff DM=MN \]复 8# hbghlyj