求$\triangle ABC$的外接圆的半径。

lemondian

已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$\triangle OBC,\triangle OCA,\triangle OAB$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，求$\triangle ABC$的外接圆的半径。
下面的解法（标红处），看得不太懂，麻烦大家帮忙解析一下吧。

kuing

三边所对圆周角怎么会是 2A,2B,2C，那三角形内角和不就 360° 了吗？

hejoseph

那里的圆周角应该是圆心角。另外那个公式只适用于外心不在三角形外的情形，三个面积若为有向面积则那个公式仍然适用。

kuing

hejoseph 发表于 2024-2-18 16:38
那里的圆周角应该是圆心角。另外那个公式只适用于外心不在三角形外的情形，三个面积若为有向面积则那个公式 ...

圆心角也不是。

依我看，应该是三个圆周角为 `\pi-2A`, `\pi-2B`, `\pi-2C` 就对了。

`\angle ADE=\angle ABE=90\du-A`，
`\angle ADF=\angle ACF=90\du-A`，
相加即得 `\angle D=\pi-2A`。

lemondian

kuing 发表于 2024-2-18 16:52
圆心角也不是。

依我看，应该是三个圆周角为 `\pi-2A`, `\pi-2B`, `\pi-2C` 就对了。

圆周角不对，那后面红线的边长与面积是否对的？如果是对的，如何推导？

kuing

lemondian 发表于 2024-2-18 17:54
圆周角不对，那后面红线的边长与面积是否对的？如果是对的，如何推导？ ...

我意思是红线1的 2A,2B,2C 应改为 `\pi-2A`, `\pi-2B`, `\pi-2C`，其他不用变，也没问题。
（当然前提是锐角三角形）

kuing

唉……
`D=\pi-2A`，所以 `EF=2R\sin D=2R\sin2A=2R\cdot2S_1/R^2=4S_1/R`。
后面的红线类似。

hejoseph

前面的想法有点错了，公式无论外心在什么位置都是成立的。这样就能引申出另外一个问题：如果已知 $\triangle OBC$、$\triangle OCA$、$\triangle OAB$ 的面积，确定 $\triangle ABC$。通过作图，发现一般有两解。下面这个图是 $\triangle OBC$、$\triangle OCA$、$\triangle OAB$ 的面积分别为 2、3、4 的情形。