曲线的另一种表示方法

青青子衿

已知已知平面三定点$O,A,B$,设平面向量$\vv{a}=\vv{OA}$，$\vv{b}=\vv{OB}$,那么向量$\vv{OM}=λa+μb$，若$λ+μ=1$，则$M$的轨迹为直线，即认为$λ+μ=1$为该直线的方程。

那么三角形OAB的外接圆方程为？
貌似这与斜坐标、复平面有关。

kuing

以前直角坐标的时候的 a,b 就是 x,y 轴上的单位向量，现在一般化了，也就是斜坐标了。
搞一点变换应该可以玩，不过我不太熟悉。

其妙

楼主到处是奇思妙想，涉及面还很广泛呢！

青青子衿

回复 2# kuing

以前直角坐标的时候的 a,b 就是 x,y 轴上的单位向量，现在一般化了，也就是斜坐标了。
搞一点变换应该可以玩 ...
kuing 发表于 2013-11-2 15:25

O(∩_∩)O~哈哈！今年的卓越自招考了一个用斜坐标定义的题目

青青子衿

三角形OAB的向量外接圆方程为
\begin{align*}
|\boldsymbol{a}|^2\lambda(1-\lambda)+|\boldsymbol{b}|^2\mu(1-\mu)=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\cdot\lambda\mu
\end{align*}

等价于，已知原点$\>O(0,0)\>$和两定点$\>A(x_1,y_1)\>$,$\>B(x_2,y_2)\>$，若$\>\lambda\>$和$\>\mu\>$满足
\begin{align*}
({x_1}^2+{y_1}^2)\lambda(1-\lambda)
+({x_2}^2+{y_2}^2)\mu(1-\mu)
=2(x_1x_2+y_1y_2)\lambda\mu
\end{align*}
则
\begin{align*}
P(\lambda\>\!x_1+\mu\>\!x_2,\lambda\>\!y_1+\mu\>\!y_2)
\end{align*}
的轨迹为三角形OAB的外接圆

kuing

青青子衿 发表于 2022-8-10 14:02
三角形OAB的向量外接圆方程为
\begin{align*}
|\boldsymbol{a}|^2\lambda(\lambda-1)+|\boldsymbol{b}|^2\mu(\mu-1)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\cdot\lambda\mu
\end{align*}

等价于 ...

我试着推了一下，怎么和你的不一样？

如上图，由托勒密定理 `OP\cdot AB=OA\cdot PB+OB\cdot PA` 代正弦定理变成
\[OP\sin(\alpha+\beta)=\abs{\bm a}\sin\beta+\abs{\bm b}\sin\alpha,\quad(*)\]
注意到
\[\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\angle OPM}{\sin\angle OMP}=\frac{OM}{OP}=\frac{\lambda\abs{\bm a}}{OP},\]
同理
\[\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\mu\abs{\bm b}}{OP},\]
代入式 (*) 得到
\[OP=\abs{\bm a}\frac{\lambda\abs{\bm a}}{OP}+\abs{\bm b}\frac{\mu\abs{\bm b}}{OP},\]
也就是
\[OP^2=\lambda\bm a^2+\mu\bm b^2,\]
另一方面
\[OP^2=(\lambda\bm a+\mu\bm b)^2=\lambda^2\bm a^2+\mu^2\bm b^2+2\lambda\mu\bm a\cdot\bm b,\]
所以
\[\lambda\bm a^2+\mu\bm b^2=\lambda^2\bm a^2+\mu^2\bm b^2+2\lambda\mu\bm a\cdot\bm b,\]
也就是
\[(\lambda-\lambda^2)\bm a^2+(\mu-\mu^2)\bm b^2=2\lambda\mu\bm a\cdot\bm b,\]
这就是所求方程。

86yu 看看哪里有问题？

=====
看来我是对嘀，楼上已修改，和我的一样了。
话说，这都9年前的帖子了，而当年我竟然一句“不太熟悉”就不管了😅……

hbghlyj

\begin{xy} \xyimport(3,3)(1.5,1.5){\includegraphics[width=469.5px, height=387.75px]{./data/attachment/forum/month_1311/131102151138f11988445cc91b.jpg}} ,!D+<0pc, 0pc>*+!U\txt{设 $\overrightarrow{OQ}=c$ , 则 $|a-c|=|b-c|=|λa+μb-c|=|c|$} ,!D+<0pc, -2pc>*+!D\txt{$a^2-2a·c+c^2=b^2-2b·c+c^2=(λa+μb)^2-2(λa+μb)·c+c^2=c^2$}, ,!D+<0pc, -2pc>*+!D\txt{$a^2-2a·c=b^2-2b·c=(λa+μb)^2-2(λa+μb)·c=0$}, ,!D+<0pc, -2pc>*+!D\txt{所以 $a·c=\frac{a^2}2$, $b·c=\frac{b^2}2$, 代入$(λa+μb)^2-2(λa+μb)·c=0$ 得}, ,!D+<0pc, -2pc>*+!D\txt{$(λa+μb)^2-λa^2-μb^2=0$}, ,(0.6,0.12)*+!U{b-c}, ,(.4,0.4)*+!L{λa+μb-c}, ,(-0.02,0.84)*+!U{a-c}, ,(-0.5,0.08)*+!D{c}, (-1.1,0.22),{\ar+(1.08,-.2)}, (1.08,-.22),{\ar@{-}+(-1.06,.24)}, (0.84,0.85),{\ar@{-}+(-0.84,-0.84)}, (-0.3,1.3),{\ar@{-}+(0.3,-1.25)} \end{xy}

kuing

hbghlyj 发表于 2022-8-11 08:52
@kuing 建议恢复xypic支持, 就不用每次都iframe了.

我看看 jsdelivr 能访问了没

咦？好像可以了耶

kuing

hbghlyj 发表于 2022-8-11 06:04
本帖最后由 hbghlyj 于 2022-8-11 11:38 编辑 \begin{xy}
\xyimport(3,3)(1.5,1.5){\includegraphics[widt ...

乃思！

不过推导过程怎么不写在正文而都贴到 xypic 里面去了呢……

青青子衿

三角形ABC的外接圆向量式为：
\begin{align*}
\overrightarrow{OP}=
\dfrac{t\vert\,\!BC\vert^2\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\vert\,\!AC\vert^2\cdot\overrightarrow{OB}-t(1-t)\vert\,\!AB\vert^2\cdot\overrightarrow{OC}}{t\vert\,\!BC\vert^2+(1-t)\vert\,\!AC\vert^2-t(1-t)\vert\,\!AB\vert^2\,}
\end{align*}

\begin{align*}
&[\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}+(\boldsymbol{c-b})\times\boldsymbol{x}]\cdot[\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a-c})\times\boldsymbol{x}]\cdot(\boldsymbol{b-a})^2\\
&\quad+[\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}+(\boldsymbol{c-b})\times\boldsymbol{x}]\cdot[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+(\boldsymbol{b-a})\times\boldsymbol{x}]\cdot(\boldsymbol{a-c})^2\\
&\qquad+[\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a-c})\times\boldsymbol{x}]\cdot[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+(\boldsymbol{b-a})\times\boldsymbol{x}]\cdot(\boldsymbol{c-b})^2=0
\end{align*}

青青子衿

kuing 发表于 2022-8-10 17:59
\[ (\lambda-\lambda^2)\bm a^2+(\mu-\mu^2)\bm b^2=2\lambda\mu\bm a\cdot\bm b \]

还有更一般的结果：
已知平面内的不共线的三定点$A,B,C $以及另外两定点$U,V$，并记
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}\\
\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}\\
\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}\\
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{OU}\\
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{OV}\\
\end{split}\right.
\end{align*}
若系数$\lambda ,\mu$满足
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
(\lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v})^2& (\lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{u} & (\lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{v} & 1 \\
\boldsymbol{a}^2& \boldsymbol{a}\cdot\,\!\boldsymbol{u} & \boldsymbol{a}\cdot\,\!\boldsymbol{v} & 1 \\
\boldsymbol{b}^2 & \boldsymbol{b}\cdot\,\!\boldsymbol{u} & \boldsymbol{b}\cdot\,\!\boldsymbol{v} & 1 \\
\boldsymbol{c}^2& \boldsymbol{c}\cdot\,\!\boldsymbol{u} & \boldsymbol{c}\cdot\,\!\boldsymbol{v} & 1 \\
\end{vmatrix}=0
\end{align*}
则\begin{align*}
\lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v}=\overrightarrow{OX}\\
\end{align*}的端点$X$轨迹是三角形$ \triangle\,\!ABC $的外接圆