抛物线与圆

lemondian

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A B$ 是抛物线 $y^2=4 x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦，$\triangle A O B$ 的外接圆交抛物线于点 $P$（不同于点 $O, A, B$）．若 $P F$ 平分 $\angle A P B$，求 $|P F|$ 的所有可能值．

kuing

先上个 暴 力 方法看看结果如何先……

设 `AB` 的方程为 `x-my-1=0`，与抛物线方程联立并由韦达定理易得 `y_A+y_B=4m`, `y_Ay_B=-4`。

根据熟知结论“四点共圆等价于斜率互反”，即 `OP` 的斜率必与 `AB` 相反，故 `OP` 的方程为 `x+my=0`，与抛物线方程联立解得 `x_P=4m^2`, `y_P=-4m`，即 `P(4m^2,-4m)`。

根据倒角公式，`PF` 平分 `\angle APB` 等价于
\[\frac{k_{PA}-k_{PF}}{1+k_{PA}k_{PF}}=\frac{k_{PF}-k_{PB}}{1+k_{PF}k_{PB}},\quad(*)\]
再次利用斜率互反，有
\[k_{PA}=-k_{OB}=-\frac{y_B}{x_B}=-\frac4{y_B}=y_A,\]
同理 `k_{PB}=y_B`，所以式 (*) 等价于
\[\frac{y_A-k_{PF}}{1+y_A\cdot k_{PF}}=\frac{k_{PF}-y_B}{1+k_{PF}\cdot y_B},\]
去分母化简得
\[(y_A+y_B)k_{PF}^2+2(1-y_Ay_B)k_{PF}-y_A-y_B=0,\]
所以
\[4m\left( \frac{-4m}{4m^2-1} \right)^2+10\cdot\frac{-4m}{4m^2-1}-4m=0,\]
去分母化简为
\[4m(16m^4+16m^2-9)=0,\]
注意 `m=0` 将使 `P` 与 `O` 重合，应舍去，所以解得
\[m^2=\frac{\sqrt{13}-2}4,\]
故此
\[PF=x_P+1=4m^2+1=\sqrt{13}-1.\]

kuing

用几何画板验证楼上的结果：

kuing

噢，严格来说我还应该要排除一下 `PF` 斜率不存在的情况，也就是 `m=\pm1/2` 时……不难验证这时不满足……

kuing

回复 2# kuing

还是不用倒角公式了，改用角平分定理好些，这样就不用管 `PF` 斜率存在与否了。

由 2# 我们已经知道 `k_{PA}=y_A`, `k_{PB}=y_B`，那么由弦长公式有
\[
PA=\abs{x_A-x_P}\sqrt{1+k_{PA}^2}
=\abs{x_A-4m^2}\sqrt{1+y_A^2}
=\abs{x_A-4m^2}\sqrt{1+4x_A},
\]
同理 $PB=\abs{x_B-4m^2}\sqrt{1+4x_B}$，由角平分线定理可知，`PF` 平分 `\angle APB` 等价于
\[
\frac{PA}{PB}=\frac{FA}{FB}=\frac{\abs{y_A}}{\abs{y_B}},
\]
两边平方得
\[\frac{(x_A-4m^2)^2(1+4x_A)}{(x_B-4m^2)^2(1+4x_B)}=\frac{y_A^2}{y_B^2}=\frac{x_A}{x_B},\]
去分母分解得
\[(x_A-x_B)\bigl(16m^4+32x_Ax_Bm^2-x_Ax_B(1+4x_A+4x_B)\bigr)=0,\]
注意 `x_A=x_B` 将使 `P` 与 `O` 重合，应舍去，而将 `AB` 与抛物线方程联立消 `y` 后由韦达定理易得 `x_A+x_B=4m^2+2`, `x_Ax_B=1`，代入上式化简即
\[16m^4+16m^2-9=0,\]
结果相同

游客

今 $A\left(m^2, 2 m\right), B\left(n^2, 2 n\right), P\left(u^2, 2 u\right)$ ，则：
$A O$ 的垂直平分线为：$m x+2 y=\frac{m^3}{2}+2 m$ ．
$B O$ 的垂直平分线为：$n x+2 y=\frac{n^3}{2}+2 n$ ．
$\Rightarrow \triangle A O B$ 的外心的中坐标为 $b=\frac{-m n(n+m)}{4}$ ．
又：$\triangle A O$ 的外接圆为 $x^2+y^2-2 a x-2 b y=0$
即：$x^2+y^2-2 a x+\frac{m n(m+n)}{2} y=0$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 a x+\frac{m n(m+n)}{2} y=0 . \\ y^2=4 x\end{array}\right.$
\[
\begin{aligned}
& \Rightarrow y^4+(16-8 a) y^2+8 m n(m+n) y=0 . \\
& \Rightarrow y=0 \text { 或 } y^3+(16-8 a) y+8 m n(m+n)=0 . \\
& \therefore 2 m \cdot 2 n \cdot 2 u=-8 m n(n+m) \text {, 即 } u+n+m=0 .
\end{aligned}
\]