抛物线 距离平方根之和

hbghlyj

受此帖启发,

$A$为抛物线的准线上一点, $AB,AC$为抛物线的切线, $D$为抛物线上一点, $BD,CD$ 交 $AB,AC$ 于 $E,F$, 则
\begin{align*}
\sqrt{DE \over BE} + \sqrt{DF \over CF}=1&\quad\text{如果$D$在$B,C$之间}\\
\sqrt{DE \over BE}- \sqrt{DF \over CF}=1&\quad\text{如果$D$在$B$外}\\
-\sqrt{DE \over BE}+\sqrt{DF \over CF}=1&\quad\text{如果$D$在$C$外}
\end{align*}

kuing

这么有趣嘀东东之前竟然没看，现在来撸一撸。

首先熟知 `AB\perp AC`，那么我们不妨把脖子歪着来看：
建系使 `AB` 为 `y` 轴，`AC` 为 `x` 轴，设抛物线焦点为 `G(a,b)`，其中 `a`, `b>0`，如下图。

由抛物线性质知 `G` 关于 `AC` 的对称点在准线上，由此可得准线的方程为 `bx+ay=0`，那么由抛物线定义及点到直线距离公式，可知抛物线的方程为
\[(x-a)^2+(y-b)^2=\frac{(bx+ay)^2}{a^2+b^2},\]
下面对它进行变形整理
\begin{gather*}
\frac{a^2}{a^2+b^2}x^2-2ax+a^2+\frac{b^2}{a^2+b^2}y^2-2by+b^2=\frac{2abxy}{a^2+b^2},\\
\frac{(ax+by)^2}{a^2+b^2}-2ax-2by+a^2+b^2=\frac{4abxy}{a^2+b^2},\\
(ax+by-a^2-b^2)^2=4abxy,
\end{gather*}
多好看嘀方程，由于整条抛物线在第一象限内，所以 `x`, `y` 均非负，上式开荒为
\[\abs{ax+by-a^2-b^2}=2\sqrt{abxy},\]
（1）当点在两切点 `B`, `C` 之间时，易知 `ax+by-a^2-b^2\leqslant0`，此时上式化为
\begin{gather*}
ax+by-a^2-b^2=-2\sqrt{abxy},\\
\bigl(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\bigr)^2=a^2+b^2\\
\sqrt{\frac{ax}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{by}{a^2+b^2}}=1,
\end{gather*}
而易知 `(a^2+b^2)/a` 和 `(a^2+b^2)/b` 分别就是点 `C` 的横坐标和点 `B` 的纵坐标，因此上式正是
\[\sqrt{\frac{DF}{CF}}+\sqrt{\frac{DE}{BE}}=1;\]
（2）当点不在 `B`, `C` 之间时 `ax+by-a^2-b^2>0`，类似地得到
\[\bigl(\sqrt{ax}-\sqrt{by}\bigr)^2=a^2+b^2,\]
如果点是在 `C` 外，则 `ax>by`，在 `B` 外反之，所以就有 1# 的结论。