圆与抛物线切点弦的解几题

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过点 $A(-2,3)$ 作抛物线 $y^2=4 x$ 的两条切线 $l_1, l_2$ ，设 $l_1, l_2$ 与 $y$ 轴分别交于点 $B, C$，则 $\triangle A B C$ 的外接圆方程为
用解几的方法搞了一下  总觉得有几何方法 kk看看能不能找到平几法
发现这个圆切好以AF为直径

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引理 1：过抛物线 $y^2=2 p x$ 上一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 的切线的方程为：
\[
y_0 y=p\left(x+x_0\right)
\]
引理 2：设抛物线外一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 做抛物线 $y^2=2 p x$ 的两条切线 $M A, ~ M B$ ，则切点弦 $A B$ 所在直线方程为：$y_0 y=p\left(x+x_0\right)$

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解：设过抛物线外一点 $A(-2,3)$ 作与直线 $l_1, l_2$ 分别切于点 $M\left(x_1, y_1\right), ~ N\left(x_2, y_2\right)$

由引理 2：可得切点弦方程 $3 y=2(x-2)$
将其与抛物线 $y^2=4 x$ 联立，消去 $x$ 可得 $y^2-6 y-8=0$
则 $\left\{\begin{array}{l}y_1+y_2=6 \\ y_1 y_2=-8\end{array}\right.$
又由引理 1 可得切线 $l_1$ 方程：$y_1 y=2\left(x+x_1\right)$ 令 $x=0$ 得到 $y=\frac{2 x_1}{y_1}=\frac{y_1}{2}$ 所以 $B\left(0, \frac{y_1}{2}\right)$ ，同理可得 $C\left(0, \frac{y_2}{2}\right)$

设 $\triangle A B C$ 的外接圆方程为：$x^2+y^2+D x+E y+F=0$
令 $x=0$ 得到 $y^2+E y+F=0$ 则 $\frac{y_1}{2}, \frac{y_2}{2}$ 是此方程的两根
由根与系数关系 $\left\{\begin{array}{l}-E=\frac{y_1+y_2}{2} \\ F=\frac{y_1 y_2}{4} \\ 13-2 D+3 E+F=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}D=1 \\ E=-3 \\ F=-2\end{array}\right.\right.$
$\triangle A B C$ 的外接圆方程为：$x^2+y^2+x-3 y-2=0$

kuing

还真让我想到了平几证法而且并不复杂。

引理：已知抛物线焦点为 $T$，过抛物线外部任意一点 $K$ 作抛物线两切线，切点分别为 $A$, $B$，则有 $\triangle TKA \sim \triangle TBK$。

【N 年后注：下图的引理证明繁琐了，更简单证明见这帖的 4#】

引理的证明在以前的邮件里写过，见下图：


命题：已知抛物线焦点为 $F$，抛物线的三条切线围成 $\triangle ABC$，则 $A$, $B$, $C$, $F$ 四点共圆。

证明：如下图，由引理得 $\angle FBP=\angle FMB=\angle FAN$，即得 $A$, $B$, $C$, $F$ 四点共圆。




推论：在上述命题中，如果 $BC$ 与抛物线相切于其顶点，则 $AF$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的直径。

证明：如下图，当 $BC$ 与抛物线相切于其顶点，即 $\angle FPB=90\du$，故由引理得 $\angle FBM=90\du$，从而由命题即得 $AF$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的直径。




这样，原题就是推论中的情形。

乌贼

caijinzhi

精彩！

isee

估计有心二次曲线也有类似结论

isee

想起广州某年高三一模的一道解析几何题，若（4楼图）AB的中点为V，叫KV平行于x轴。

isee

果然，通俗数学名著译丛 圆锥曲线的几何性质 抛物线的的命题13（与14），kuing 从另一角度重复“发现”一次，kuing 对光学性质用得的确独到。

isee

回复 7# isee

可统一为：过一点作二次曲线的切线（方法）。

3楼图，以K心圆心，KF为半径作圆，交准线于U，G……

而对椭圆为：

（结合：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … 4&extra=page%3D2  3楼，焦点在切线上的射影为轨迹是圆）

isee

我擦，原来看到这题了，前几天，不过，把外接圆看成内切圆了！

不过，变成内切圆后，也很有意思，比如点与现从直线的位置关系，如何不通过图形确定位置呢？