圆与抛物线切点弦的解几题

v6mm131 · 发表于 2015-4-28 18:42

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用解几的方法搞了一下总觉得有几何方法 kk看看能不能找到平几法
发现这个圆切好以AF为直径

v6mm131 · 发表于 2015-4-28 18:50

回复 1# v6mm131

v6mm131 · 发表于 2015-4-28 18:55

回复 2# v6mm131
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kuing · 发表于 2015-4-28 21:02

还真让我想到了平几证法

而且并不复杂。

引理：已知抛物线焦点为 $T$，过抛物线外部任意一点 $K$ 作抛物线两切线，切点分别为 $A$, $B$，则有 $\triangle TKA \sim \triangle TBK$。

【N 年后注：下图的引理证明繁琐了，更简单证明见这帖的 4#】

引理的证明在以前的邮件里写过，见下图：
QQ截图20150428210509.gif

命题：已知抛物线焦点为 $F$，抛物线的三条切线围成 $\triangle ABC$，则 $A$, $B$, $C$, $F$ 四点共圆。

证明：如下图，由引理得 $\angle FBP=\angle FMB=\angle FAN$，即得 $A$, $B$, $C$, $F$ 四点共圆。

QQ截图20150428205614.gif

推论：在上述命题中，如果 $BC$ 与抛物线相切于其顶点，则 $AF$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的直径。

证明：如下图，当 $BC$ 与抛物线相切于其顶点，即 $\angle FPB=90\du$，故由引理得 $\angle FBM=90\du$，从而由命题即得 $AF$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的直径。

QQ截图20150428205918.gif

这样，原题就是推论中的情形。

乌贼 · 发表于 2015-4-28 21:32

caijinzhi · 发表于 2015-4-28 22:34

精彩！

isee · 发表于 2015-4-28 23:17

估计有心二次曲线也有类似结论

isee · 发表于 2015-4-28 23:53

想起广州某年高三一模的一道解析几何题，若（4楼图）AB的中点为V，叫KV平行于x轴。

isee · 发表于 2015-4-28 23:55

果然，通俗数学名著译丛圆锥曲线的几何性质抛物线的的命题13（与14），kuing 从另一角度重复“发现”一次，kuing 对光学性质用得的确独到。

isee · 发表于 2015-4-29 00:13

回复 7# isee

可统一为：过一点作二次曲线的切线（方法）。

3楼图，以K心圆心，KF为半径作圆，交准线于U，G……

而对椭圆为：

（结合：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3314&extra=page%3D2 3楼，焦点在切线上的射影为轨迹是圆）

isee · 发表于 2015-12-14 20:55

我擦，原来看到这题了，前几天，不过，把外接圆看成内切圆了！

不过，变成内切圆后，也很有意思，比如点与现从直线的位置关系，如何不通过图形确定位置呢？

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[几何] 圆与抛物线切点弦的解几题

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