解析几何有巧算吗

player1703 · 发表于 2018-7-12 22:48

抛物线$y^2=2px$上关于$x$轴对称的两个点A, A'处的切线交于P. 抛物线上任意一异于A, A'的点B处的切线分别交AP, A'P所在直线于C, D. 求证AC=PD.

kuing · 发表于 2018-7-13 01:16

这当然应该玩几何方法咯……

QQ截图20180713011554.png

由光学性质易知 `\angle FAP=\angle FPA`，即 `\angle FAC=\angle FPD`。

由《撸题集》第 54 页定理 1.2.1 知 `P`, `C`, `F`, `D` 四点共圆，所以 `\angle ACF=\angle PDF`。

因为 `PF` 平分 `\angle CPD`，所以 `FC=FD`。

由以上三点可知 `\triangle FAC\cong\triangle FPD`，所以 `AC=PD`。

isee · 发表于 2018-7-13 12:09

本帖最后由 isee 于 2018-7-13 12:49 编辑 每次看到 kuing 的《撸题集》第 54 页定理 1.2.1，都觉得那个倒角的证明是属于kuing的：论坛里（4楼）。

换种表述形式——给个另证。

命题：已知抛物线焦点为$F$，过抛物线外部任意一点$C$作抛物线两切线，切点分别为$A$,$B$，则有$\angle FAC = \angle FCB$.

另证：辅助线如图，$A'F'$是抛物线的准线，$EG$是$y$轴，$OD$是$x$轴.

直线$AE$交$x$轴于点$D$，由抛物线的光学性质及定义知$$AF=AA'=FD,$$
这就有$$\angle D=\angle FAC.$$
另一方面$$AA'=F'A'',$$
于是$$FD=F'A''$$
又$O$为$FF'$的中点，知，$O$亦是$DA''$的中点，记直线$EA$交$y$轴于$E$，则$$DE=EA,$$
连接$EF$即有$$FE\perp CA.$$
同理对另一条切线有$$FG\perp CB.$$
于是$E$，$C$，$G$，$F$四点共圆，故$$\angle FCB=\angle FEG=\angle D=\angle FAC.$$

特别的，作第三条切线与前两条切线相交，

对$CA$，$CB$切线，有$\angle FCB=\angle FAC$，对$HP$，$HA$切线，有$\angle FHI=\angle FAC$，于是$\angle FCA=\angle FHI$，这样$C$，$I$，$F$，$H$这四点共圆.

当点$C$落在$x$轴上时，便是主楼了.

以上其实都是废话，只是个人重新认识这个题，特别是那个另证.