与抛物线弦有关的距离最小值

lemondian

过点$P(0,1)$作一直线$l$，$l$与抛物线$y=x^2$交于$A,B$两不同点，过点$A,B$分别作抛物线$A,B$的切线，两切线交于点$Q$。求点$Q$到直线$AB$的距离的最小值。

色k

Q在P的极线y=-1上，可设Q(m,-1)，则AB: y=2mx+1，然后代点到直线距离公式即可

lemondian

回复 2# 色k
易得$d=\dfrac{2m^2+2}{\sqrt{4m^2+1}}$,往下如何求最值呢？

色k

分子拆一下均值不就好了，基本功啊

lemondian

回复 4# 色k
哦，谢谢！我想偏了，用导数，难算了

kuing

也可以不用点到直线距离公式……

如图，过 `Q` 作 `AB` 的垂线，垂足为 `H`，`QH` 及 `y=-1` 交 `y` 轴于 `R`, `S`。
沿用 2# 的东西，不妨设 `m>0`，由 `k_{AB}=2m` 得 `SQ:SR=2m`，可见 `SR=1/2`, `RP=3/2`，于是 `RH\cdot RQ=RS\cdot RP=3/4`，所以 `QH=RH+RQ\geqslant2\sqrt{RH\cdot RQ}=\sqrt3`，当 `RH=RQ` 时取等。

敬畏数学

回复 6# kuing
几何简单一点。硬翻译一把也简单。