双曲线中的两个命题

lemondian

如图，$F_1, F_2$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左，右焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A, B$。

下面两个命题是否正确？如何证明？
（1）$|OA| \cdot|OB|=\left|OF_1\right|^2$ ；（2）$F_1, F_2, A, B$ 四点共圆。

huing

都成立，并有相关性。
1、首先\(|OA|\cdot |OB|=\)定值是众所周知的，然后从一个特殊位置——切点在顶点可以求出该定值为\(|OF_1|^2\)。
2、取 B 关于 y 轴的镜像点$B'$，它位于渐近线OA上, |OB'|=|OB|.
\(|OA|\cdot|OB'|=|OA|\cdot|OB|=|OF_1|^2=|OF_1|\cdot|OF_2|\)
由圆的相交弦定理知\(A,B',F_1,F_2\)四点共圆。y轴显然过该圆的一条直径，故 B' 的关于该直径的镜像点 B 亦在该圆上。

lemondian

回复 2# huing

不好意思,可以解释一下,在一般情况下如何证明第一个问题吗?

lemondian

回复 2# huing

另外,问题2有解析法证明吗?谢谢

敬畏数学

回复 2# huing
四点共圆。

huing

回复 3# lemondian
切点$(x_0，y_0)$所在的切线方程为
\[\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1\]切点坐标满足双曲线方程，有\[\left(\frac{x_0}a+\frac{y_0}b\right)\left(\frac{x_0}a-\frac{y_0}b\right)=1\]这两个因子在计算中用得多，故我们设 \[x'_0=\frac{x_0}a+\frac{y_0}b,y'_0=\frac{x_0}a-\frac{y_0}b\]
将渐近线方程\[\frac xa=\pm \frac yb\]代入切线方程可得交点             \(A(ax'_0,bx'_0),B(ay'_0,-by'_0)\)
故\[|OA|=x'_0\sqrt{a^2+b^2},|OB|=y'_0\sqrt{a^2+b^2}\\|OA|\cdot|OB|=a^2+b^2=|OF_1|^2\]

huing

回复 4# lemondian
当然可以，但是得到命题1后，用解析法证明命题2不合算，因为用解析证明四点共圆，不管用什么判据计算量都比较大。
方法1：切点是AB的中点，所以这个圆的圆心是过切点的法线与y轴的交点，法线的点斜式方程为\[\frac{y-y_0}{x-x_0}=-\frac{y_0a^2}{x_0b^2}\]取$x=0$可得圆心坐标和半径长，进而可得圆的方程，然后将四点坐标代入验算即可。
方法2：四点\((x_i,y_i),i=1,2,3,4\)共圆的代数判据是\[\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1\\x_4^2+y_4^2&x_4&y_4&1
\end{vmatrix}=0\]
将四点坐标\((-a,0),(a,0),(ax'_0,bx'_0),(ay'_0,-by'_0)\)代入验算即可。

kuing

不好意思,可以解释一下,在一般情况下如何证明第一个问题吗?
lemondian 发表于 2019-2-26 22:18

相当于证明 $\S{OAB}$ 为定值。
易证 y=a/x 时成立，然后作切变变换（不改变面积）可知 y=a/x+bx 时也成立，因为任意双曲线经旋转都可变成 y=a/x+bx，所以一般的双曲线都成立。

lemondian

谢谢两位的解答，明白了