一个圆锥曲线小题

snowblink

双曲线$\Gamma:x^2-y^2=a^2\left ( a>0 \right ) $的左右顶点分别为$A、B$，$P$为$\Gamma$上第一象限内的动点，则$\dfrac{AB^2+PB^2}{PA^2}$的最小值为

Czhang271828

按照双曲三角函数的定义, 取点 $P(a\cosh t,a\sinh t)$. 此时
$$
\frac{AB^2+PB^2}{PA^2}=\frac{4+\sinh^2 t+(\cosh t-1)^2}{\sinh^2 t+(\cosh t+1)^2}.
$$
使用 $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$, 记 $c=\cosh t$, 上式为
$$
\frac{c^2-c+2}{c^2+c}\quad (c\geq 1).
$$
最小值在 $c=1+\sqrt 2$ 处取 (求导即可), 答案 $4\sqrt 2-5$.

注: 类似 $P(\frac{x+x^{-1}}{2},\frac{x-x^{-1}}{2})$ 的换元也可, 此处 $x=e^t$ 时 $P(\cosh t,\sinh t)$.