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kuing
发表于 2020-7-10 02:54
结论是正确的，我个人是第一次见……
我想从几何性质方面入手，撸不起来，然而改用代数方法发现居然是很容易，一点也不 Bao 力……
首先我将你的结论改一种表达方式：
圆与等轴双曲线交于 `A`, `B`, `C`, `D` 四点，点 `D` 关于双曲线中心 `O` 对称的点为 `D'`，点 `M` 为 `BC` 中点，则有 $\vv{MA}\cdot\vv{MD'}=MB^2$。
这个表达方式还可以吧？用向量式把另一个圆和极线隐藏起来，图瞬间清爽了，同时也便于代数证明
证明：不妨设等轴双曲线为 `y=1/x`，圆为 `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`，记 `A(x_1,y_1)`, `B(x_2,y_2)`, `C(x_3,y_3)`, `D(x_4,y_4)`，则 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4` 是 `(x-a)^2+(1/x-b)^2=r^2` 的四根，此方程去分母后为 `x^4+\cdots+1=0`，由韦达得 `x_1x_2x_3x_4=1`，因此 `x_4=y_1y_2y_3`, `y_4=x_1x_2x_3`，故 `D'` 的坐标为 `(-y_1y_2y_3,-x_1x_2x_3)`，由此得到
\begin{align*}
\vv{MA}\cdot\vv{MD'}={}&
\left( \frac{x_2+x_3}2-x_1 \right)\left( \frac{x_2+x_3}2+y_1y_2y_3 \right)\\
&+\left( \frac{y_2+y_3}2-y_1 \right)\left( \frac{y_2+y_3}2+x_1x_2x_3 \right),
\end{align*}由对称性只需展开前面就知道后面如何
\[\left( \frac{x_2+x_3}2-x_1 \right)\left( \frac{x_2+x_3}2+y_1y_2y_3 \right)=\left( \frac{x_2+x_3}2 \right)^2-y_2y_3-\frac12(x_1x_2+x_1x_3-y_1y_2-y_1y_3),\]那么另一项与之相加时后面那堆就会消掉，所以
\begin{align*}
\vv{MA}\cdot\vv{MD'}&=\left( \frac{x_2+x_3}2 \right)^2-y_2y_3+\left( \frac{y_2+y_3}2 \right)^2-x_2x_3\\
&=\left( \frac{x_2-x_3}2 \right)^2+\left( \frac{y_2-y_3}2 \right)^2\\
&=MB^2.
\end{align*} |
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