等轴双曲线中的平行四边形

lemondian

如图，已知$O$为坐标原点，等轴双曲线$xy=k(k>0)$，已知若圆与双曲线交于$A,B,C,D$,圆心为$P$.取$AB,CD$的中点$E,F$，则$OEPF$为平行四边形。

请问：如何证明？

kuing

设圆为 `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`，记 `A(x_1,y_1)`, `B(x_2,y_2)`, `C(x_3,y_3)`, `D(x_4,y_4)`，则 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4` 是 `(x-a)^2+(k/x-b)^2=r^2` 的四根，此方程去分母后为 `x^4-2ax^3+\cdots=0`，由韦达得 `x_1+x_2+x_3+x_4=2a`，同理可得 `y_1+y_2+y_3+y_4=2b`，而线段 `EF` 的中点坐标为 `\bigl((x_1+x_2+x_3+x_4)/4,(y_1+y_2+y_3+y_4)/4\bigr)`，也就是 `OP` 的中点 `(a/2,b/2)`，即 `EF`, `OP` 互相平分，所以 `OEPF` 为平行四边形。

kuing

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lemondian

回复 3# kuing
谢谢kuing。
不知有没有纯平几证法

mowxqq

令直线方程 $\cases{AB:y-k_1x-m_1=0,\\CD:y-k_2x-m_2=0,}$
构造曲线系方程 $(y-k_1x-m_1)(y-k_2x-m_2)+\lambda(xy-1)=0$，
由于 $A,B,C,D$ 四点共圆，因此 $x^2,y^2$ 项的系数相等，
即 $k_1k_2=1$，又直线 $OE$ 的斜率为 $-k_1$，则 $OE\perp CD$，即 $OE\parallel PF$.

在几何上，圆的内接四边形 $ABCD$ 各边中点向对边作垂线共点，但不知道怎么和双曲线联合起来证明那个点就是原点.

hbghlyj

回复 5# mowxqq
婆罗摩笈多定理指出：如果一个圆内接四边形对角线相互垂直，则垂直于一边而且过对角线交点慨直线将平分对边。
延长AB,CD交坐标轴于A',B',C',D',由双曲线性质,E为A'B'中点,F为C'D'中点.
在A'B'C'D'中由婆罗摩笈多定理,OF垂直于AB.而EP垂直于AB,所以OF平行于EP.

mowxqq

回复 7# hbghlyj

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