C是双曲线上的动点 求AC/BC的范围

hbghlyj

kuing

莫非又得像 forum.php?mod=viewthread&tid=7869 那样凑？

hbghlyj

仿照Kuing的做法,如下
最大值$\left\{\frac{1}{45} \left(37+8 \sqrt{10}\right),\left\{x\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}},y\to \sqrt{\frac{2}{5}}\right\}\right\}$
证明:
\[\left(x+\frac{21}{10}\right)^2+\left(y-\frac{2}{10}\right)^2-\frac{37+8 \sqrt{10}}{45}  \left(\left(x+\frac{15}{10}\right)^2+(y-1)^2\right)\\=\frac{-\sqrt{10}-8}{15} \left(\frac{x^2}{2}-2 y^2-1\right)+\frac{-13 \sqrt{10}+40}{90} \left(x-3 \sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2+\frac{2}{45} \left(-7 \sqrt{10}-20\right) \left(y-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2\]


最小值$\left\{\frac{1}{45} \left(37-8 \sqrt{10}\right),\left\{x\to -3 \sqrt{\frac{2}{5}},y\to -\sqrt{\frac{2}{5}}\right\}\right\}$
证明:
\[\left(x+\frac{21}{10}\right)^2+\left(y-\frac{2}{10}\right)^2-\frac{37-8 \sqrt{10}}{45}  \left(\left(x+\frac{15}{10}\right)^2+(y-1)^2\right)\\=\frac{\sqrt{10}-8}{15} \left(\frac{x^2}{2}-2 y^2-1\right)+\frac{13 \sqrt{10}+40}{90} \left(x+3 \sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2+\frac{2}{45} \left(7 \sqrt{10}-20\right) \left(y+\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2\]

hbghlyj

回复 2# kuing
话说,数据背后,"特殊的几何性质"是什么呢

kuing

回复 4# hbghlyj

不知道

hbghlyj

5楼
类似解法出于数学吧（帖子1的15楼|帖子2）,再间接被传到纯几何吧了呢
另外,在2楼,题主提示我们看5170,在6楼的评论区,题主提示“作CBD∽CAB（逆相似），则D的轨迹是圆”

hbghlyj

A是Poncelet点，B是等角中心，AC/BC最大相当于某个离心率最小的二次曲线，就是Gergonne-Steiner二次曲线，因此C就是对径点

链接中的相关性质:

kuing

hbghlyj 发表于 2021-6-1 12:03
链接中的相关性质:

zhihu.com/pin/1595111353894813696

这些又有什么特殊的几何性质呢？