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源自知乎提问
题：过双曲线右焦点 $F_2$ 且平行于渐近线的直线交双曲线于点 A, 若 $\triangle AF_2F_1$ 的内切圆半径为 $\frac b4,$ 求双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的离心率.
图1 圆 I 为焦三角形的内切圆
如图 1，点 $I$ 为 $\triangle AF_2F_1$ 的内切圆的圆心且与三边的切点分别为 $C,D,G,$ 则 $AC=AD, F_2D=F_2G, F_1G=F_1C,$ 由双曲线的定义有
\begin{align*} 2a&=\left|AF_1\right|-\left|AF_2\right|=(AC+CF_1)-(AD+DF_2)\\[1em] &=CF_1-DF_2=F_1G-F_2G\\[1em] &=(F_1O+OG)-(OF_2-OG)\\[1em] &=(c+OG)-(c-OG)\\[1em] &=2\cdot OG,\\[1em] \therefore \ \color{red}{a}\ &\color{red}{=OG},\quad （\text{即双曲线焦三角形内切圆的圆心在}\ x=a\ \text{上}) \end{align*}
又 $I$ 是 $\triangle AF_2F_1$ 的内切圆的圆心且与边的切点分别为 $D,G,$ （所以 $IG\perp OF, IG=ID=\frac b4,$） 于是知点 $$\color{red}{I\left(a,-\frac b4\right)}.$$
又直线 $AF_2$ 平行于渐近线，从而其方程为 $y=\frac ba(x-c)$ 即 $bx-ay-bc=0$, (内切圆的半径 $ID=\frac b4,$ ）即点 $\color{red}{I\left(a,-\frac b4\right)}$ 到直线 $AF_2:\color{red}{bx-ay-bc=0}$ 为 $b/4$, 所以
$$\frac {\left|b\cdot a+a\cdot \frac b4-bc\right|}{\sqrt {a^2+b^2}}=\frac b4, 即 \frac {b\cdot \left|\frac {5a}4-c\right|}{c}=\frac b4, \left|5a-4c\right|=c,$$ 进一步知 $$e=\frac ca=\frac 53. $$ |
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