2015深圳一模：理科第20题…椭圆焦点在其切线上的射影…

isee

题目：
       
已知椭圆$E:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$的离心率为$\dfrac {\sqrt 2} 2$，过左焦点倾斜角为$45^{\circ}$的直线被椭圆截得的弦长为$\dfrac {4\sqrt 2}3$．
       
    （1）求椭圆$E$的方程；

    （2）若动直线$l$与椭圆$E$有且只有一个公共点，过点$M(1,0)$作$l$的垂线垂足为$Q$，求点$Q$的轨迹方程．
   

解：
   
    （1）$E:\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$，过程略；
   

    （2）当然可以设$l:y=kx+m$然后利用$\Delta=0$找出$k$与$m$的关系式后，再求点$Q$坐标，然后消$k,m$得出结果.
   
   
    我们这里另开一条路：
   
    设点坐标，解方程的方式给一种不同于参考答案（自行搜参阅）的方式；

    也是做个记号，好几个月未动笔了，记录一下；
    虽然，可能是很常见的经典题型了.
   
   
    设直线$l$与椭圆$E$的切点为$N(x_0,y_0),Q(x,y)$，由$\angle MQN=90^\circ$，可得\[(x-1)(x-x_0)+y(y-y_0)=0,\tag{01}\label{eq01}\]
   
    容易证明椭圆的切线$l$的方程为\[\dfrac {x_0x}2+y_0y=1\Rightarrow xx_0+2yy_0=2,\tag{02}\label{eq02}\]
   
    又\[x_0^2+2y_0^2=2,\tag{03}\label{eq03}\]
   
    \eqref{eq02}$-$\eqref{eq03}\[x_0(x-x_0+2y_0(y-y_0)=0,\tag{04}\label{eq04}\]
   
    由\eqref{eq03}\eqref{eq04}容易得到\[yx_0-2(x-1)y_0=0,\tag{05}\label{eq05}\]
   
    联立\eqref{eq02}\eqref{eq05}可得\[\left\{\begin{aligned}x_0&=\frac {2(x-1)}{x^2-x+y^2} ,\\y_0&=\frac  y{x^2-x+y^2},\end{aligned}\right.\]
   
    代入\eqref{eq03}，并整理成整式方程\[2(x-1)^2+y^2=(x^2-x+y^2)^2,\tag{06}\label{eq06}\]
   
    \eqref{eq06}的处理，有一个方向，就是将$y$看成主元，于是可化为

     \[y^4+(2x^2-2x-1)y^2+(x-1)^2(x^2-2)=0\Rightarrow (y^2+x^2-2)(y^2+(x-1)^2)=0,\]
   
    进而得到\[x^2+y^2=2.\]
   
    点$(\pm \sqrt 2,0)$也在此圆上，$Q$点的轨迹方程为$x^2+y^2=2$.


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结果很美，从纯几何上看，仅仅是开始，轨迹是圆嘛。

说来不好意思，断断续续“弄”了两天了。

isee

下面看两个很常见的结论


1. 光线从椭圆一个焦点出发，经椭圆反射后，射向另一焦点。

    证明略。

2. 直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。

    证明，自个画个图，不防看看……

isee

于是，主楼的的第（2）题，由此图直接完成。

\[Q(x,y),x^2+y^2=a^2\]

isee

相关 的 蒙日圆

冒个泡了……

你(们)好，88……

kuing

回复 3# isee

是这个吗？kkkkuingggg.haotui.com/thread-977-1-5.html

isee

回复 5# kuing

是哦，将本帖时的图将F2关于切线对称一下，就是一样的。
且不需要直接梯形了。

青青子衿

回复 5# kuing
椭圆垂足曲线的参数方程
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{a\left[ {a{x_0}{{\sin }^2}t + b\cos t\left( {b - {y_0}\sin t} \right)} \right]}}{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}\\
y = \frac{{b\left[ {b{y_0}{{\cos }^2}t + a\sin t\left( {a - {x_0}\cos t} \right)} \right]}}{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}
\end{array} \right.\]
垂足点为\(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)的
定点在椭圆焦点的垂足曲线是一个圆（希尔伯特和科恩•沃森 1999，pp.25-26）。


其他垂足曲线，垂足曲线比较复杂，如上图所示。

djjtyq

回复 7# 青青子衿


    习题46那个图是什么书

其妙

回复  kuing
椭圆垂足曲线的参数方程
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{a\left[ {a{x_0}{{\sin }^2} ...
青青子衿 发表于 2015-2-13 20:38

纸巾太强大了！