三点共线

guanmo1

$H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，$P$ 是任意一点，$HL \perp PA$，交 $PA$ 于 $L$，交 $BC$ 于 $X$，$HM \perp PB$，交 $P B$ 于 $M$，交 $C A$ 于 $Y$，$HN \perp PC$ 交 $P C$ 于 $N$，交 $A B$ 于 $Z$，求证: $X, Y, Z$ 三点共线。

abababa

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发网友的解答，用的是坐标法，这种方法我一直没学会：
设三角形是$\triangle A_1A_2A_3$，易知$H=(\sec A_1,\sec A_2, \sec A_3)$，设$P = (p_1,p_2,p_3)$，设$HB_i \perp PA_i = B_i, HB_i \cap A_sA_t = C_i, s,t \neq i$。易知$HB_1=(*,p_2(\sec A_1+\cos A_2\sec A_3), p_3(\sec A_1+\cos A_3\sec A_2))$，其中$*$不影响后面的计算。因此$C_1=(0,p_3(\sec A_1+\cos A_3\sec A_2),-p_2(\sec A_1+\cos A_2\sec A_3))$。同理可知
\[C_2=(-p_3(\cos A_3\sec A_1+\sec A_2)),0,p_1(\sec A_2+\cos A_1\sec A_3))\]
\[C_3=(p_2(\cos A_2\sec A_1+\sec A_3),-p_1(\cos A_1\sec A_2+\sec A_3),0)\]
显然$\begin{vmatrix}C_1,C_2,C_3\end{vmatrix}=0$，因此共线。

isee

常见的竞赛题（不代表我做过，仅给出参考），链接中的例7
[解] 以 $H$ 为原点, 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴, 建立直角坐标系, 用 $(x_k, y_k)$ 表示点 $k$ 对应的坐标, 则直线 $P A$ 的斜率为 $\frac{y_P-y_A}{x_P-x_A}$, 直线 $HL$ 斜率为 $\frac{x_P-x_A}{y_A-y_P}$, 直线 $HL$ 的方程为
$$
x\left(x_P-x_A\right)+y\left(y_P-y_A\right)=0
$$
又直线 $HA$ 的斜率为 $\frac{y_A}{x_A}$, 所以直线 $BC$ 的斜率为 $-\frac{x_A}{y_A}$, 直线 $BC$ 的方程 为 $x_A+y y_A=x_A x_B+y_A y_B$, (2) 又点 $C$ 在直线 $B C$ 上, 所以 $x_C x_A+y_C y_A=x_A x_B+y_A y_B$. 同理可得 $x_B x_C+y_B y_C=x_A x_B+y_A y_B=x_A x_C+y_A y_C$.
又因为 $X$ 是 $B C$ 与 $H L$ 的交点, 所以点 $X$ 坐标满足(1)式和(2)式, 所以点 $X$ 坐标满足 $x_P+y_P=x_A x_B+y_A y_B$. (4)同理点 $Y$ 坐标满足 $x x_P+y_P=x_B x_C+y_B y_c$. (5)点 $Z$ 坐标满足 $x_P+y_P=x_C x_A+y_C y_A$.
由(3)知(4), (5), (6)表示同一直线方程, 故 $X, Y, Z$ 三点共线。