一道关于三角形垂心位置的证明

lemondian

设为$\triangle ABC$锐角三角形，其垂心为$H$，令$M$为线段$BC$上的一点，通过$M$且垂直于$BC$的直线分别与$BH$和$CH$相交于点$P$和$Q$。证明：$\triangle HPQ$的垂心位于直线$AM$上。

战巡

如图，令$\Delta PHQ$垂心$H'$，其他看图

既然$H$为垂心，那么$BP\perp AC$，显然会有$\angle P=\angle ACB$，同理$\angle PQH=\angle ABC, \angle PHQ=\angle BAC$，即
\[\Delta ABC\sim\Delta PHQ\]
那么对应的高自然也是相似的，会有
\[\frac{AH}{AD}=\frac{HH'}{HD'}\]
又显然$HD'\parallel BC$，即有矩形$HDMQ$，而后
\[\frac{AH}{AD}=\frac{HH'}{DM}\]
那这样的$H'$点显然只能在$AM$上

hbghlyj

2024墨西哥数学奥林匹克第二天 题4.