高线上点，角相等，证垂心

kuing

命题：在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB\ne AC$，$AD$ 为 $BC$ 上的高，$K$ 在线段 $AD$ 上，若 $\angle KBA=\angle KCA$，则 $K$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。

源于 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3126588 的题目中需要证的东西。



证明：如图，由正弦定理，有
\[1=\frac{KB}{KA}\cdot \frac{KC}{KB}\cdot \frac{KA}{KC}
=\frac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot \frac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot \frac{\sin\angle5}{\sin\angle6},\]
因为 $\angle 2=\angle 5$，且 $\angle1+\angle2+\angle3=\angle4+\angle5+\angle6=90\du$，所以得到
\[\sin\angle1\cos(\angle1+\angle2)=\cos(\angle5+\angle6)\sin\angle6,\]
积化和差得
\[\sin(2\angle1+\angle2)=\sin(2\angle6+\angle5),\]
因为 $2\angle1+\angle2<2(\angle1+\angle2)<180\du$，同理 $2\angle6+\angle5<180\du$，由 $AB\ne AC$ 得 $\angle1\ne\angle6$，所以只能
\[2\angle1+\angle2+2\angle6+\angle5=180\du,\]
故
\[\angle1+\angle6+\angle2=\angle1+\angle6+\angle5=90\du,\]
所以 $K$ 为垂心。

若将 $A$ 和 $K$ 交换位置即得如下钝角情形的命题。

命题$'$：在 $\triangle ABC$ 中，$A$ 为钝角，$AB\ne AC$，$AD$ 为 $BC$ 上的高，$K$ 在 $DA$ 的延长线上，若 $\angle KBA=\angle KCA$，则 $K$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。

isee

人教那边那题，第一眼的感觉就是用同一法，你和战巡都曾证过类似的题，两边都有。。。。

isee

原题，联想到垂心组，终于是想起来了：

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2724&page=1
第10楼的图，及第11楼。

这是一般情况，绝对竞赛里的东西，好久没碰了，陌生了，反应了好久……

isee

本帖里的垂心的逆命题亦是成立的，好像也在哪儿见过，还是纯几何法的。。。

isee

将主楼条件转换一个，（更好看些，个人觉得）。
直线BK，CK分别交AC，AB于点E，F，若B,C,E,F四点共圆，证：K为垂心。

isee

回复 6# isee


    留给乌贼玩玩。。

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将AC沿高线AD折叠，得AG，边KG，则A，B，G，K四点共圆。

进一步，有$\angle KCB=\angle KGC=\angle KAF\Rightarrow \angle KFA=\angle KDC=90^\circ$，证毕。

其妙

回复 7# isee
乌贼很久没来了

色k

人教那边的角相等证明看得我眼花。。。

kuing

要不是我撸书，可能我也翻不到 2009 年的这贴：
bbs.pep.com.cn/thread-455692-1-1.html
该贴中 isea 在 2012 年顶起那贴，就已经玩了很多东西了。

isee

kuing 发表于 2015-8-25 19:22
该贴中 isea 在 2012 年顶起那贴，就已经玩了很多东西了。

isea=isee=iC

其妙 发表于 2015-8-25 15:52
乌贼很久没来了

应该多次路过吧？只是没进来。

isee

添加平几法：

将AC沿高线AD折叠，得AG，边KG，则A，B，G，K四点共圆。

进一步，有$\angle KCB=\angle KGC=\angle KAF\Rightarrow \angle KFA=\angle KDB=90^\circ$，证毕。


图在6楼。

abababa

发一位网友对原题的证明

已知三角形的三条高 $AD$, $BE$, $CF$ 相交于一点 $H$，$AH$ 的中点为 $L$，$AH$ 与 $EF$ 的交点为 $K$，证明 $K$ 是三角形 $LBC$ 的垂心。

证明

$H = (\sec A, \sec B, \sec C)$
$E = (\sec A, 0, \sec C)$
$F = (\sec A, \sec B, 0)$
$EF = (-\cos A, \cos B, \cos C)$
$AH = (0, -\sec C, \sec B)$
$K = (2\sec A, \sec B, \sec C)$
$BK = (\sec C, 0, -2\sec A)$
因为 $A L=A H / 2=$ 外心到 $B C$ 距离 $=R \cos A=c \cos A /(2 \sin C), ~ A D=c\sin B$
$L = \left( 2\sin B \sin C / \cos A - 1, \cos C, \cos B \right)$
$CL = L - C = (\cos C, 1 - 2\sec A \sin B \sin C, 0)$

利用三线坐标计算，
\[
CL \cdot BK = \begin{bmatrix} \cos C \\ 1 - 2\sec A \sin B \sin C \\ 0 \end{bmatrix}^T
\begin{bmatrix}
1 & -\cos C & -\cos B \\
-\cos C & 1 & -\cos A \\
-\cos B & -\cos A & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \sec C \\ 0 \\ -2\sec A \end{bmatrix} = 2 + 2\cos(B + C)\sec A = 0
\]
因此，$CL \perp BK$，点 $K$ 是三角形 $LBC$ 的垂心。