垂心的问题

hbghlyj

$\DeclareMathOperator{\o}{orth}$记$\o(A,B,C)$为三角形$ABC$的垂心。
对于四个点$t,u,v,w$，求证：$\o(\o(t,u,v),\o(t,u,w),u) = \o(\o(t,u,v),\o(t,v,w),v)$

hbghlyj

1. avg[a_, b_, c_, u_, v_, w_] := (a u + b v + c w)/(a + b + c);   
2. bary[f_, u_, v_, w_] := avg[f[u,v,w], f[v,w,u], f[w,u,v], u, v, w];
3. f[u_, v_, w_] := 1/((u-v).(u-w));
4. center4[u_, v_, w_]  := bary[f, u, v, w];
5. Algebra = {t -> {tx, ty}, u -> {ux, uy}, v -> {vx, vy}, w -> {wx, wy}};
6. FourVariable[c_] := c[c[t,u,v], c[t,u,w], u] == c[c[t,u,v], c[t,v,w], v];
7. FourVariable[center4] /. Algebra // Simplify

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结果为True

hbghlyj

用坐标是上面那样算的。但是换种思路，能否从垂直关系推出来？

hbghlyj

这个点 $\o(\o(t,u,v),\o(t,u,w),u) = \o(\o(t,u,v),\o(t,v,w),v)$ 是关于 $t,u,v,w$ 轮换对称的吗