一道三元代数求值题

lemondian

设$a,b,c$为互不相等的实数满足$abc=\frac{7}{8}$，且$a^2+bc-ab=b^2+ca-bc=c^2+ab-ca$，求$a^4+b^4+c^4$的值。

kuing

记
\begin{align*}
x_1&=a^2+bc-ab,\\
x_2&=b^2+ca-bc,\\
x_3&=c^2+ab-ca,
\end{align*}
则可以验证恒等式
\[(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=\frac{(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2}2,\]
由条件上式为零，即 `a`, `b`, `c` 满足著名的 Vasc 不等式的（除 `a=b=c` 外的）取等条件，熟知为
\[a:b:c=\sin^2\frac{4\pi}7:\sin^2\frac{2\pi}7:\sin^2\frac\pi7,\]
及其轮换，下略。😁

lemondian

kuing 发表于 2023-12-28 15:04
记
\begin{align*}
x_1&=a^2+bc-ab,\\

“熟知...”后面是怎么来的呀？
，关键我不“熟知”

kuing

lemondian 发表于 2023-12-28 15:25
“熟知...”后面是怎么来的呀？
，关键我不“熟知”

我只是纯粹记得这经典结论😁具体推导其实我也不知道
2# 意在指出这道题有这么个背景而已，有空再看看咋推吧

lemondian

kuing 发表于 2023-12-28 15:51
我只是纯粹记得这经典结论😁具体推导其实我也不知道
2# 意在指出这道题有这么个背景而已，有空再看看咋推 ...

1#结果是多少呢？