求 $\frac{\sin x}{\cos x+\sqrt {2+\cos^2x}}$ 的最大值

isee

源自知乎提问



这两天解了 “一个” 题






题：求 $f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x+\sqrt {2+\cos^2x}}$ 的最大值.


没有思路时卡住时，可尝试导

\begin{align*}
f'(x)&=\frac{\cos x(\cos x+\sqrt {2+\cos^2x})+\sin^2 x\Big(1+\frac{\cos x}{\sqrt{2+\cos^2 x}}\Big)}{(\cos x+\sqrt {2+\cos^2x})^2}\\[1ex]
&=\frac{\sqrt {2+\cos^2x}\cos x+\sin^2 x}{\sqrt {2+\cos^2x}\big(\cos x+\sqrt {2+\cos^2x}\big)}=0
\end{align*}

即有 \begin{gather*}
(2+\cos^2x)\cos^2 x=(1-\cos^2 x)^2\\[1ex]
4\cos^2x=1.
\end{gather*} 进一步讨论单调区间（列表）知，当 $\cos x=-\frac 12,\sin x=\frac{\sqrt 3}2$ 时 $f(x)_{\max}=\frac{\sqrt 3}2.$





今天见到御玺的（另一个类似题的）回答，于是依 Cauchy 不等式有\begin{align*}
&\quad\,\frac{\sin x}{\cos x+\sqrt {2+\cos^2x}}\\[1ex]
&=\frac{\sin x\big(\sqrt {2+\cos^2x}-\cos x\big)}{\big(\cos x+\sqrt {2+\cos^2x}\big)\big(\sqrt {2+\cos^2x}-\cos x\big)}\\[1ex]
&=\frac{\sin x\sqrt{2+\cos^2x}+(-\cos x)\sin x}2\\[1ex]
&\leqslant\frac{\sqrt{\big(\sin^2 x+(-\cos x)^2\big)\big(\color{blue}{2+\cos^2x}+\sin^2x\big)}}2\\[1ex]
&=\frac {\sqrt 3}2.
\end{align*} 取等号时， $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{2+\cos^2x}{\sin^2 x},\cdots$

isee

御玺的回答的题是：(源自知乎提问)

求 $f(x)=(\sqrt{4+\cos^2x}+\cos x)\sin x$的最小值.





分子有理化为 $(\sqrt{4+\cos^2x}+\cos x)\sin x=\dfrac {4\sin x}{\sqrt{4+\cos^2x}-\cos x}$ 其范围处理方式可参考顶楼求导.


=====


核心文字化了一下：依 Cauchy 不等式有

\begin{align*}
&\quad\,\big(\sin x\sqrt{4+\cos^2x}+\cos x\sin x\big)^2\\[1ex]
&\leqslant (\sin^2 x+\cos^2x)\big(4+\cos^2x+\sin^2x\big) =5.
\end{align*} 取等号时 $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{4+\cos^2x}{\sin^2 x},\cdots$

isee

源自知乎提问



题：如何求 sinx cosx+sinx sqrt(cosx cosx +3) 的最大值?



依 Cauchy 不等式有
\begin{align*}
&\quad\,\big(\sin x\sqrt{3+\cos^2x}+\cos x\sin x\big)^2\\[1ex]
&\leqslant (\sin^2 x+\cos^2x)\big(3+\cos^2x+\sin^2x\big) \\[1ex]
&=4,\\[1ex]
\Rightarrow& -2\leqslant\sin x\sqrt{3+\cos^2x}+\cos x\sin x\leqslant 2
\end{align*}取等号时 $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{3+\cos^2x}{\sin^2 x},\cdots$

kuing

跟前几天这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9554 很像，那里 5# 说的“乘以对偶式”估计也和上面的方法类似。

isee

kuing 发表于 2022-9-9 00:38
跟前几天这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9554 很像，那里 5# 说的“ ...

嗯，同质 ` (其实没细看…

kuing

isee 发表于 2022-9-9 00:41
嗯，同质 ` (其实没细看…

我也是，直到刚才，我实操了一下，原来还是有点不同嘀，那边并不需要柯西
=====
反而可以用反向柯西

isee

kuing 发表于 2022-9-9 01:12
我也是，直到刚才，我实操了一下，原来还是有点不同嘀，那边并不需要柯西
=====
反而可以用反向柯 ...

确实一样，形式处理上，及实质.


题：在三角形 ABC 中，若$\sin B=\sqrt 3\sin A$，则$\dfrac{\sin A}{\sqrt 3\cos A+\cos B}$ 的最大值为____.



依题设条件知$b>a$，即$B>A$亦表明$A$是锐角.  再处理所求式，先化成一元，然后分母有理化.
\begin{align*}
\frac{\sin A}{\sqrt 3\cos A+\cos B}&=\frac{\sin B/\sqrt 3}{\sqrt 3\sqrt{1-\frac {\sin ^2B}3}+\cos B}\\
&=\frac{\sin B\sqrt{3-\sin^2 B}+(-\cos B)\sin B}{2\sqrt 3}\\
&\leqslant \frac{\sqrt{(\sin^2B+(-\cos B)^2)(3-\sin^2 B+\sin^2 B)}}{2\sqrt 3}\\
&=\frac 12.
\end{align*}
取 “=” 时，$$\frac{\sin^2B}{\cos^2B}=\frac{3-\sin^2B}{\sin^2B}=\frac{3+0}{1}\Rightarrow \tan B=\pm \sqrt 3\;\text{舍负 }.$$