点 (x,y) 在椭圆 上且 (y-1,x+1) 也在椭圆上 求 b 的范围

isee

源自知乎提问

题：若点 (x,y) 在椭圆 x²/4b²＋y²/b²=1上，且 (y-1,x+1) 也在椭圆上，求 b 的范围？

依题有方程组 \[\left\{\begin{aligned}\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1,\\[1ex]
\frac{(y-1)^2}{4b^2}+\frac{(x+1)^2}{b^2}&=1,\end{aligned}\right.\] 两式相减，整理得 \[3x^2-3y^2+8x-2y+5=0,\] 双十字相乘分解因式有 \begin{gather*}
(x-y+1)(3x+3y+5)=0,\\[1ex]
\Rightarrow x-y+1=0,\;\lor \;3x+3y+5=0.
\end{gather*} 若 $x-y+1=0$ 时，此时 (x,y) 与点 (y-1,x+1) 重合，过于平凡，舍去.

从而 (x，y) 在直线 $3x+3y+5=0$ 上，依题知此直线与椭圆 $x^2/4b^2+y^2/b^2=1$ 有两个不同的交点，由直线与椭圆的位置关系（如联立消 y，得到关于 x 的二次式判别式大于 0)，不难得到 \[9\cdot 4b^2+9\cdot b^2>25\Rightarrow b>\frac{\sqrt 5}3.\]

后话，此题挺好玩的，如果是点 (x-1,y+1) 亦在椭圆上也是可解的，相对容易些.

kuing

后面那直线与椭圆相切也是阔以的吧？

kuing

可是题目并没有明确要求点 `(x,y)` 与点 `(y-1,x+1)` 相异，那你中间得到的所谓“过于平凡”其实并不能成为舍去的理由啊，它应该保留，就是与 `x-y+1=0` 有公共点也可以，这样算出来就是 `b\geqslant1/\sqrt5`。

kuing

不限制两点相异的话，从几何角度考虑就行了：

注意到点 `(x,y)` 与点 `(y-1,x+1)` 关于直线 `L`: `y=x+1` 对称。

那么当点 `(x,y)` 在椭圆 `\Gamma`: `x^2/4+y^2=b^2` 上运动时，点 `(y-1,x+1)` 形成的轨迹就是 `\Gamma` 关于 `L` 对称的椭圆 `\Gamma'`，依题意就是要 `\Gamma` 与 `\Gamma'` 有公共点。

若 `L` 与 `\Gamma` 外离，那 `\Gamma'` 就在 `L` 的另一则，当然不会有公共点；

若 `L` 与 `\Gamma` 有公共点 `P`，那 `\Gamma'` 当然也过 `P`，于是满足。

综上所述，就是要 `L` 与 `\Gamma` 有公共点，得 `b\geqslant1/\sqrt5`。

当然这样的话感觉就没什么意思了，所以还是建议题目加上“两点相异”比较好。

isee

kuing 发表于 2022-12-13 16:02
可是题目并没有明确要求点 `(x,y)` 与点 `(y-1,x+1)` 相异，那你中间得到的所谓“过于平凡”其实并不能成为 ...

是这样，我偷懒了，按相异来的，哈哈哈哈哈哈