|
|
源自知乎提问
题：已知函数 $f(x)=a\sqrt{x^2-\frac12}+\frac{\sqrt2}2b-\mathrm e^x$，若 $f(x)=0$ 在 $[\frac{\mathrm e}3 ,\mathrm e]$ 上有解，求 $a^2+b^2$ 的最小值.
边猜边写，错了也认.
由 $a\sqrt{x^2-\frac12}+\frac{\sqrt2}2b=\mathrm e^x$ 考察方程两边的函数 $h(x)=a\sqrt{x^2-\frac12}+\frac{\sqrt2}2b$ ， $g(x)=\mathrm e^x$ 性态(分别为上凸，下凸)，而猜测两曲线相切是临界值.
设切点为 $(x,y)$ 则由相切时斜率相等有 \[\mathrm e^x=\frac{ax}{\sqrt{x^2-\frac12}}\Rightarrow a=\frac{\mathrm e^x\sqrt{x^2-\frac12}}x,\] 再由公切点在两曲线上有 $a\sqrt{x^2-\frac12}+\frac{\sqrt2}2b=\mathrm e^x$ 于是 \begin{align*}
b&=\sqrt2\big(\mathrm e^x-a\sqrt{x^2-\frac12}\big)\\[1ex]
&=\sqrt2\big(\mathrm e^x-\frac{\mathrm e^x(x^2-\frac12)}x\big)\\[1ex]
&=\sqrt 2\mathrm e^x\big(1-x+\frac1{2x}\big),
\end{align*} 则 \begin{align*}
a^2+b^2&=\mathrm e^{2x}\frac{x^2+\frac12}{x^2}-2\mathrm e^{2x}\big(1-x+\frac1{2x}\big)^2\\[1ex]
&=\mathrm e^{2x}\Big(1-\frac1{2x^2}+2\big(1-x+\frac1{2x}\big)^2\Big)\\[1ex]
&=\mathrm e^{2x}\big(2x^2-4x+\frac2x+1\big)\\[1ex]
&=k(x)
\end{align*} 对 k(x) 求导 \[k'(x)=2\mathrm e^{2x} \left(2x^2-2x-1+\frac2x-\frac1{x^2}\right),\] 这个时候已经观察出 $k'(1)=0$ ，大胆推猜 \[(a^2+b^2)_{min}=k(1)=\mathrm e^2.\]
进一步有 \[k'(x)=\frac{2\mathrm e^{2x}(x-1)(x+1)\left(2x^2-2x+1\right)}{x^2}.\] |
|
