2022年新高考天津卷第20(2)(ii)题 函数中的不等式 $a^2+b^2>e$

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2022年新高考天津卷第20题：

已知函数 $f\left( x \right)=\mathrm e^x-a\sin x$ ， $g\left( x \right)=b\sqrt x$ .

（1）略；
（2）若 $y=f\left( x \right)$ 和 $y=g\left( x \right)$ 有公共点，（i）当$a=0$时，求$b$的取值范围；
（ii）求证： $a^2+b^2>\mathrm e$．

(2) （i）答案： $b\in \left[ \sqrt{2\mathrm e},+\infty \right)$ ，过程略.

(2)（ii）注意所证并不是最小值，则可尝试从不等式放缩入手.

与题可能相关的（心中已知）最常见的的导数放缩不等式有
\[\mathrm e^x\geqslant1+x, \mathrm e^x\geqslant \mathrm ex, \mathrm e^x>1+x+\frac{x^2}2,\,x>0;\]
\[\sin x<x,\,x>0,\cos x>1-\frac{x^2}2.\]

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下面开始解答，设两函数的公共点的横坐标 $x_0>0$ ( 当 $x_0=0$ 时 $(00)$ 时不成立）则有 \[\mathrm e^{x_0}=a\sin x_0+b\sqrt x_0,\tag{00}\] 联想到柯西不等式，于是 \[\big(a\sin^2x_0+b\sqrt x_0\big)^2\leqslant(a^2+b^2)\big(\sin^2x_0+x_0\big),\] 由这两式便有 \begin{align*}
\big(\mathrm e^{x_0}\big)^2&\leqslant (a^2+b^2)\big(\sin^2x_0+x_0\big)\\[1ex]
a^2+b^2&\geqslant \frac{\mathrm e^{x_0}\cdot\color{red}{\mathrm e^{x_0}}}{\color{blue}{\sin^2x_0}+x_0}\\[1ex]
&\geqslant \frac{\mathrm e^{x_0}\cdot \color{red}{\mathrm ex_0}}{\color{blue}{x_0^2}+x_0}\\[1ex]
&=\frac{\mathrm e^{x_0}}{1+x_0}\cdot \mathrm e\\[1ex]
&\geqslant \mathrm e.
\end{align*} 以上三次不等号不能同时成立，从而 $a^2+b^2>\mathrm e$ 得证.

显然是 由 lemondian 的追加，想起天津卷当时网上没有…