来自讨论组群：函数有界但导数无界的连续函数

kuing

教学乡长: 06-03 21:17:18
函数有界但导数无界的连续函数
有没有什么例子

\[f(x)=
\begin{dcases}
\sin^2x\sin\frac1{x^2}, & x\ne0, \\
0, & x=0,
\end{dcases}
\]
易知 `f(x)` 在 `\mbb R` 上连续且有界。

考查它的导函数，先看 `x=0` 处，因为
\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x\sin\frac1{x^2}}x=0,\]
所以它在 `x=0` 处可导且 `f'(0)=0`，而 `x\ne0` 时则可直接求导，最终有
\[f'(x)=
\begin{dcases}
\sin2x\sin\frac1{x^2}-\frac2{x^3}\sin^2x\cos\frac1{x^2}, & x\ne0, \\
0, & x=0,
\end{dcases}
\]
所以 `f(x)` 在 `\mbb R` 上可导。

而显然 `x\to0` 时 `\frac2{x^3}\sin^2x\to\infty`，可知 `f'(x)` 无界，所以它就符合要求。

hbghlyj

$(0,1)$上函数无界但导数有界