参数曲线的n阶导数 曲率 拐点

hbghlyj

参数曲线\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}一阶导数\begin{align}\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'}\end{align}
二阶导数\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx} \left ( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{\frac{d}{dt} \left (\frac{dy}{dx} \right)}{\frac{dx}{dt}}\nonumber
\\&={x'y''-x''y'\over x'^3}\label2\end{align}
三阶导数\begin{align}\frac{d^3y}{dx^3} &= \frac{d}{dx} \left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right) = \frac{\frac{d}{dt} \left (\frac{d^2y}{dx^2} \right)}{\frac{dx}{dt}}\nonumber\\&=\frac{x' \left(y^{(3)} x'-3 x'' y''\right)+y' \left(3 x''^2-x^{(3)} x'\right)}{x'^5}\end{align}
四阶导数\begin{align} \frac{d^4y}{dx^4} &= \frac{d}{dx} \left ( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = \frac{\frac{d}{dt} \left (\frac{d^3y}{dx^3} \right)}{\frac{dx}{dt}}\nonumber\\&=\frac{x' \left(15 x''^2 y''+x' \left(y^{(4)} x'-4 x^{(3)} y''\right)-6 y^{(3)} x' x''\right)-y' \left(15 x''^3+x^{(4)} x'^2-10 x^{(3)} x' x''\right)}{x'^7}\end{align}

1. Nest[Simplify[D[#,t]/x'[t]]&,y'[t]/x'[t],3]

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对于二阶导数，分子将$x,y$交换后正好变成表达式的负，所以
$$\frac{d^2y}{dx^2}=0\iff\frac{d^2x}{dy^2}=0$$
拐点在改变坐标$(x,y)\mapsto(y,x)$后不变！但是其它阶导数等于0的点不具有此性质。

hbghlyj

拐点在改变坐标系后不变，因为拐点是$k=0$的点，而$k$在改变坐标系后不变。
（带符号的）曲率公式
\begin{equation}\label{curvature}
k={\frac {x'y''-y'x''}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},
\end{equation}
的分子$x'y''-y'x''$也是\eqref{2}的分子，即$\eqref{curvature}=0\Leftrightarrow\eqref{2}=0$。

对于曲线上一般的点，交换$x,y$后\eqref{curvature}和\eqref{2}都变成负的表达式。
\eqref{curvature}的绝对值在改变坐标系后不变，而\eqref{2}的绝对值在改变坐标系后改变。

hbghlyj

Example 9.3.4: Concavity of Plane Curves
曲线\begin{cases}x(t)=5t^2 - 6t + 4\\y(t)=t^2 + 6t - 1\end{cases}$t=\frac35$是$x$极小值点，故$x'(\frac35)=0$，故$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac35)=\infty$
import graph;
unitsize(2mm);

pair curve(real t){return (5*t^2 - 6*t + 4, t^2 + 6*t - 1);}
draw(graph(curve, -2, 3));
dot(curve(.6),red);

xaxis("$x$", Ticks(NoZero));
yaxis("$y$", Ticks(NoZero));\begin{align*}
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dt}\left[\frac{2t+6}{10t-6}\right]\Bigg/(10t-6) \\
&= -\frac{72}{(10t-6)^2}\Bigg/(10t-6)\\
&= -\frac{72}{(10t-6)^3} \\&= -\frac{9}{(5t-3)^3}
\end{align*}当$t>\frac35$时$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac35)<0$
当$t<\frac35$时$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac35)>0$
所以$\frac{d^2y}{dx^2}$的正负交界点不一定是$\frac{d^2y}{dx^2}=0$的点：还可能是$\frac{d^2y}{dx^2}=\infty$的点！
$x'y''-y'x''=(10t-6)2-(2t+6)10=-72$是常数，所以$k$恒负。
一般地，当$x(t),y(t)$为二次多项式，$x'y''-y'x''$是常数，所以$k$的符号恒定。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-8-28 23:07
所以$\frac{d^2y}{dx^2}$的正负交界点不一定是$\frac{d^2y}{dx^2}=0$的点：还可能是$\frac{d^2y}{dx^2}=\infty$的点！

类似地，$k$的正负交界点可能是$k=0$的点[如$\cases{x=t\\y=t^3}$在$t=0$]，也可能是$k=\infty$的点[如$\cases{x=t^2\\y=t^3}$在$t=0$]