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本帖最后由 kuing 于 2023-11-6 12:20 编辑 源自知乎提问：zhihu.com/question/625361895/answer/3248100446
题：若正实数 x，y 满足 $x^2+y^2=\frac12$ ，则 $2x^2+x+y$ 的最大值为_____.
一眼不能与 “已知x的平方+y的平方+z的平方=1，问6xy+3yz的最大值是多少？ ”一样，直接观察出拆分的系数比，所以采用一般处理二元二次的方法：待定系数法.
引入待定常数 $m>2$ ，其原理见以下过程，则
\begin{align*}
2x^2+x+y&=2x^2+x+y-m\big(x^2+y^2-\frac12\big)\\[1ex]
&=\big(x-(m-2)x^2\big)+\big(y-my^2\big)+\frac12m\\[1ex]
&=\frac1{m-2}\cdot(m-2)x\big(1-(m-2)x\big)+\frac1m\cdot {\color{blue}{my(1-my)}}+\frac12m\\[1ex]
&\leqslant\frac1{m-2}\cdot\frac14+\frac1m\cdot\frac14+\frac12m\\[1ex]
&=\frac14\Big(\frac{2m-2}{m^2-2m}+2m\Big),\tag{01}
\end{align*}
当且仅当 $x=\frac1{2(m-2)},y=\frac1{2m}$ ，代入 $x^2+y^2=\frac12$ 中化简整理为
\[m^4-4m^3+3m^2+2m-2=0,\]
观察出因式 $m-1$ ，分解因式，整理为 $(m-1)^2 \big({\color{blue}{m^2-2m-2}}\big)=0$ ，所以 $m=\sqrt 3+1$ ，代回 $(01)$ 中，即得
\[2x^2+x+y\leqslant \frac{3\sqrt3+2}4.\]
（取且仅当 $x=\frac1{2(\sqrt3-1)},y=\frac1{2(\sqrt3+1)}$ 时取得等号.） |
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