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源自知乎提问
题：若 0<x<L，则 $\frac1{x^2}+\frac1{(L-x)^2}$ 的最小值为_______.
Jensen 不等式：若 $f$ 为区间 $I$ 上的下凸函数，则对任意 $x_i\in I,\ $$\lambda_i>0\ (i=1,2,\cdots,n),$ $\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ 有 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i)\geqslant f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)$ ，当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n$ 时取等号.
若 $f$ 为上凸函数，则不等式反向.
取函数 $f(x)=\frac1{x^2},0<x<L$ ， $\color{blue}{f''(x)=\frac6{x^6}>0}$ 即 $f(x)$ 在区间 $(0,L)$ 为下凸函数，依 Jensen 不等式 \[\frac1{x^2}+\frac1{(L-x)^2}=f(x)+f(L-x)\geqslant 2f\left(\frac{x+L-x}2\right)=\frac8{L^2},\] 当且仅当 $x=L-x$ 即 $x=\frac L2$ 时取得等号. |
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