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[不等式] 为什么凸函数在变量完全对称时达到最小值?

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hbghlyj Posted at 2024-11-5 18:18:15 |Read mode
假设 $f(x)$ 是一个实变量(也可以是正实变量)的凸函数。
那么 $F = \sum_{i=1}^n f(x_i)$ 是$n$个变量的凸函数。
如果 $u\inR^n$ 是 $F$ 的一个最小值(可以加一个对称约束,例如 $\sum x_i=1$),那么对于任何置换 $\sigma$,$\sigma u$ 也是最小值。
$F$ 是凸函数意味着 $\{\sigma u\}$ 的整个凸包都是最小值点!其中包含了所有坐标相同的向量(即“完全对称”)——这个共同值是 $u$ 坐标的平均值。例如,设 $f(x)=x^n$ 并使用 $n$ 个变量,我们很快得到算术-几何不等式:$(x_1x_2\dots x_n)^{1/n} \leq (x_1+x_2+\dots+x_n)/n$。

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 Author| hbghlyj Posted at 2024-11-5 18:28:02
如果没有凸性,这种推理就行不通,并且可能存在非对称最小值。(考虑函数 $f(x)=x$。)
人们所能得出的结论是,如果 $u$ 是最小值,那么 $\sigma u$ 也是最小值。如果没有凸性,就得不出“$\{\sigma u\}$ 的整个凸包都是最小值点”。
物理学家将对称定律具有非对称解的现象称为“对称破缺”。
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2025-4-20 22:16 GMT+8

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