二阶导函数$f''(x)$与极限

weigang99888

二阶导函数$f''(x)$与极限$\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否相等？
即$f''(x)=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$是否成立？为什么？

战巡

回复 1# weigang99888


并不完全相等，仅在函数连续的情况下可以保证相等
连续情况很容易证明

不连续的话参考以下反例：
\[f(x)=\begin{cases} 1,  x>0 \\0,  x=0\\-1,  x<0\end{cases}\]
此时在$x=0$这个点显然是不可导的，也没有二阶导数
但却有
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)+f(0-h)-2f(0)}{h^2}=0\]

weigang99888

在连续的情况下如何证明？谢谢！

战巡

回复 3# weigang99888


这还要问？

洛必达法则得
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=f''(x)\]

kuing

回复 4# 战巡

用洛医院的话，仅有连续的条件够吗？

战巡

回复 5# kuing


连续且二阶可导
我是懒得讲那么多

weigang99888

thx

kuing

\[\led
f(x+h)&=f(x)+hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2),\\
f(x-h)&=f(x)-hf'(x)+\frac12h^2f''(x)+o(h^2)
\endled
\riff
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{h^2f''(x)+o(h^2)}{h^2}=f''(x)\]

weigang99888

太精彩啦！

hbghlyj

Finite difference
Second-order central
\[f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.\]