一个下凸函数的问题

lemondian

请教大家一个问题：
若$f(x)$在区间$I$上是下凸函数，$r,s,t,p\in I$且$r<s\leqslant t <p$，那么能不能有$\dfrac{f(p)-f(t)}{p-t}>\dfrac{f(s)-f(r)}{s-r}$？

kuing

看过 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4096 没？

lemondian

kuing 发表于 2022-6-10 16:02
看过 https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4096 没？

是这个吗？
看得不是很懂。
还可以取等号？

kuing

lemondian 发表于 2022-6-10 16:55
是这个吗？
看得不是很懂。
还可以取等号？

不需要用这个，用第 1 页的式 (1.2) 就行。

能取等是因为凸函数的定义里面有等号，不能取等号的可以叫“严格凸函数”。

lemondian

kuing 发表于 2022-6-10 17:01
不需要用这个，用第 1 页的式 (1.2) 就行。

能取等是因为凸函数的定义里面有等号，不能取等号的可以叫“ ...

好的，我消化一下，晚上我写一个过程，你帮我看看

其实1#如果再加一个条件：$f(x)$在区间上单调递增，就比较好证的

但通过画图，发现好象不要“单调递增”这个条件也是对的，但就不会证了

kuing

如果 s=t 那 1# 就是式 (1.2) 的两端；
如果 s≠t 那根据式 (1.2) 就可以写出
\[\frac{f(s)-f(r)}{s-r}<\frac{f(t)-f(r)}{t-r}<\frac{f(t)-f(s)}{t-s}<\frac{f(p)-f(s)}{p-s}<\frac{f(p)-f(t)}{p-t}\]

lemondian

kuing 发表于 2022-6-10 17:20
如果 s=t 那 1# 就是式 (1.2) 的两端；
如果 s≠t 那根据式 (1.2) 就可以写出
\[\frac{f(s)-f(r)}{s-r} ...

2#的资料我看懂了，
关键是这个


但式（1.2）中有等号，为何6#所得的不等式却没有等号了呢？

kuing

lemondian 发表于 2022-6-10 23:20
2#的资料我看懂了，
关键是这个

4# 已经说了，定义不同。

按资料上的定义，y=x 也是凸函数。

而我知道你 1# 所指的凸函数肯定是不包括这种的，所以也改成了 <

lemondian

kuing 发表于 2022-6-10 23:49
4# 已经说了，定义不同。

按资料上的定义，y=x 也是凸函数。

哦，那就是将定义的等号去掉，当然式 (1.2)的推导过程的等号也去掉呗，对不？

lemondian

显然，若$f(x)$在区间$I$上是上凸函数，$r,s,t,p\in I$且$r<s\leqslant t <p$，则有$\dfrac{f(p)-f(t)}{p-t}<\dfrac{f(s)-f(r)}{s-r}$。

感谢kuing