1个公共焦点的两个椭圆

hbghlyj

见conic_geometry.pdf第22页
椭圆$\cal E$₁的焦点为$X$、$X$₁
椭圆$\cal E$₂的焦点为$X$、$X$₂
$\cal E$₁、$\cal E$₂的外公切线交于$Y$
已知\[X_1 ∈{\cal E}_2\text{ and }X_2 ∈{\cal E}_1 \]
\[X_1 X_2=8, X X_2=7 \text {, and } X X_1=9 \text {, }\]求$XY^2$

kuing

是第 24 页，而且你写漏了 X1 ∈ E2 and X2 ∈ E1

kuing

其实在第 25 页就有提示了，这里就直接在那页的图上作辅助线好了：

由熟知的椭圆性质，有 `YX` 与 `YX_1` 与两切线夹角相等。

同理，`YX` 与 `YX_2` 与两切线夹角也相等，这就说明 `Y`, `X_1`, `X_2` 三点共线。

然后作 `X` 关于切线的对称点 `X'` 如上图，则由光学性质知 `X'X_1` 与椭圆 `\cal E_1` 的交点为切点，因此 `X'X_1=\mathcal E_1` 的长轴 `=X_2X+X_2X_1=7+8=15`。

同理得 `X'X_2=\mathcal E_2` 的长轴 `=X_1X+X_1X_2=9+8=17`，而 `8^2+15^2=17^2`，因此恰好有 `X'X_1\perp YX_2`。

设 `XY=x`，则 `X_1Y=\sqrt{X'Y^2-X'X_1^2}=\sqrt{x^2-15^2}`，由余弦定理有
\begin{gather*}
\cos\angle XX_1X_2+\cos\angle XX_1Y=0,\\
\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot8\cdot9}+\frac{(x^2-15^2)+9^2-x^2}{2\cdot\sqrt{x^2-15^2}\cdot9}=0,
\end{gather*}
解得 `x=3\sqrt{41}`，所以 `XY^2=369`。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-3-27 08:43
是第 24 页

22是内容的页码吧，PDF阅读器填写22就能跳到此页

kuing

hbghlyj 发表于 2024-3-27 17:53
22是内容的页码吧，PDF阅读器填写22就能跳到此页

我是直接在浏览器打开看的，输入 24 才能跳到那里。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-3-27 09:57
我是直接在浏览器打开看的，输入 24 才能跳到那里。

哦，我懂了，有两页用了Beamer的\pause，只切换frame不换页，例如打印出来就多2页

hbghlyj

kuing 发表于 2024-3-27 09:57
我是直接在浏览器打开看的，输入 24 才能跳到那里。

我也是直接在浏览器打开看的，是Firefox，输入 22 才能跳到那里。