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生如夏花(2365*****) 2013-8-25 16:24:56
kuing/fj/zhj 2013-8-25 16:25:33
多么有趣
生如夏花(2365*****) 2013-8-25 16:26:17
我纠结的那个问题，只要把这个关键的解决就没问题了
设有两条二次曲线 $\Gamma_1:x^2/A+y^2/B=1$，$\Gamma_2:x^2/C+y^2/D=1$（$A$、$B$、$C$、$D$ 不必为正），点 $P$ 在 $\Gamma_1$ 上，$\Gamma_1$ 在 $P$ 处的切线与 $\Gamma_2$ 交于两点 $R$、$S$，$\Gamma_2$ 在 $R$、$S$ 处的切线交于 $Q$，如果 $k_{PQ}$、$k_{RS}$ 均存在，则 $k_{PQ}\cdot k_{RS}$ 为定值。
设 $P(x_p,y_p)$，则直线 $RS$ 的方程为
\[\frac{x_px}A+\frac{y_py}B=1,\]
则
\[k_{RS}=-\frac BA\cdot\frac{x_p}{y_p},\]
设 $Q(x_q,y_q)$，则直线 $RS$ 的方程又可以写为
\[\frac{x_qx}C+\frac{y_qy}D=1,\]
由此可见
\[\frac{x_p}A=\frac{x_q}C~\text{且}~\frac{y_p}B=\frac{y_q}D,\]
故
\[k_{PQ}=\frac{y_p-y_q}{x_p-x_q} =\frac{y_p-\frac{Dy_p}B}{x_p-\frac{Cx_p}A} =\frac{A(B-D)}{B(A-C)}\cdot\frac{y_p}{x_p},\]
所以
\[k_{PQ}\cdot k_{RS}=-\frac{B-D}{A-C}.\]
特别地，$PQ\perp RS$ 恒成立当且仅当 $A-B=C-D$，即两二次曲线的焦点相同（曲线类型不必相同）。
PS、本来想把这个回到群里，结果慢了一步，群里已经有人发了解法，方法完全一样。不过既然草稿已的打了，不发白不发，故此改成上面这一般情况再发上来，权当记录。 |
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hbghlyj
发表于 2021-5-30 23:48
