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Joukowsky变换定义为 $z = \frac{1}{2} \left( Z + \frac{1}{Z} \right)$，它是保角映射，在空气动力学中用于模拟绕翼型的气流情况。考虑将以原点为中心、半径为 $\alpha$ 的圆 $|Z| = \alpha$ 映射到 $z$-平面后的形状。将 $Z = \alpha e^{i\theta}$ 代入变换式中，$z = \frac{1}{2} \left(\alpha e^{i\theta} + \frac{1}{\alpha} e^{-i\theta} \right)$，$x + iy = \frac{1}{2} \left[ \left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\cos\theta + i\left(\alpha - \frac{1}{\alpha}\right)\sin\theta \right]$，分离实部与虚部，导出参数形式：$x = \frac{1}{2}(\alpha + \frac{1}{\alpha})\cos\theta$，$y = \frac{1}{2}(\alpha - \frac{1}{\alpha})\sin\theta$。利用 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 推导出椭圆方程：
$$
\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\left(\alpha - \frac{1}{\alpha}\right)\right)^2} = 1
$$
说明圆在 $Z$-平面的像是一个以原点为中心的椭圆。
进一步，椭圆的焦距满足 $c^2 = a^2 - b^2$，其中半长轴 $a = \frac{1}{2}\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)$，半短轴 $b = \frac{1}{2}\left|\alpha - \frac{1}{\alpha}\right|$。计算得
$$
c^2 = \left[\frac{1}{2}\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\right]^2 - \left[\frac{1}{2}\left(\alpha - \frac{1}{\alpha}\right)\right]^2 = 1
$$
这说明 Joukowsky 变换将以原点为中心的圆映射为一族以 $(\pm1, 0)$ 为焦点的共焦椭圆。
特别地，当 $\alpha = 1$ 时，$a = 1$, $b = 0$，椭圆退化为实轴上的线段，连接两焦点 $-1$ 与 $1$。
当 $\alpha > 1$ 时，得到椭圆，随 $\alpha \to \infty$ 趋于圆形；当 $0 < \alpha < 1$ 时，注意到将 $\alpha$ 替换为 $1/\alpha$ 不改变 $a$ 和 $b$，因此两个互为倒数的 $\alpha$ 对应单位圆映射为同一个椭圆。 |
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