正方形到圆盘的共形映射

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hypersquare21 - bridges2016-179.pdf
Fernandez-Guasti Squircle(方圆形)。1992 年，Manuel Fernandez-Guasti [3] 引入了一个代数方程来表示介于圆形和正方形之间的中间形状。 他的方程包括一个参数 $s$，它指定形状的方形度。$$x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{r^{2}} x^{2} y^{2}=r^{2}$$

Fernandez-Guasti squircle (left) and its use in mapping the disc to a square (right)

参数 $s$ 可以是 0 到 1 之间的任何值。当 $s=0$ 时，方程生成一个半径为 $r$ 的圆。 当 $s=1$ 时，方程生成一个边长为 $2r$ 的正方形。 在这两者之间，方程产生了一条类似于两种形状的平滑曲线。 本文介绍的另外两个圆盘到正方形的映射基于 Fernandez-Guasti 圆弧。
FG-Squircular 映射。2014 年，Fong 使用 Fernandez-Guasti squircle 提出了圆盘和正方形之间的映射 [4]。他设计了带有两个关键约束的映射。第一个约束是圆盘内部的圆形轮廓被映射到正方形内部的方形-圆形轮廓。这在图 7 的右图中进行了说明。映射的第二个约束是径向约束。这意味着圆盘内的点在映射过程中只会从中心径向移动。通过观察映射到图 3 中正方形的径向网格，这一点很明显。
椭圆网格映射。2005 年，Philip Nowell 推出了正方形到圆盘的映射，将正方形中的水平和垂直线转换为圆形区域内的椭圆弧。实际上，此映射将规则的矩形网格变成了由椭圆弧组成的规则曲线网格。Nowell 在他的博客 [7] 中提供了他的映射的数学推导。2014 年，Fong 分析了映射并提出了一个反方程 [4]。这实际上使映射成为圆盘和正方形之间的双射。Fong 还表明，映射将圆盘内的圆形轮廓转换为正方形内的 Fernandez-Guasti 方形圆 [4]。

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Conformal map between square and disk
Equations
The equation for the function from the square to the disk is
\[f(z) = \frac{1-i}{2} \, \text{sd}\left(\frac{1+i}{2} K z;\frac{1}{2}\right)\]
where $\text{sd}$ is a Jacobi elliptic function with parameter $1/2$. The constant $K$ is the complete elliptic function of the first kind, evaluated at $1/2$. In symbols, $K = K(1/2)$.

The inverse function has equation
\[g(w) = (1-i) - \frac{1-i}{K} F\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}} w\right);\frac{1}{2} \right )\]
Here $F$ is the incomplete elliptic function of the first kind. For more background, see this post on kinds of elliptic integrals.

Conformal map of rectangle to ellipse
Conformal map from rectangles to half plane