保角映射

hbghlyj

如何证明心形线 $r = 2(1 +\cosθ)$：

可以通过映射 $w(z) = \sqrt z - 1$ 映射为单位圆 $|w| = 1$？且该映射为保角映射(除去$0$处)？

hbghlyj

对于心形线上的点，我们有 $z = r e^{iθ} = 2(1 + \cos θ)e^{iθ} = (2+e^{iθ}+e^{-iθ})e^{iθ}=(e^{iθ}+1)^2$，所以 $w(z) = \sqrt{z}-1=e^{iθ}+1-1=e^{iθ}$，这是单位圆上的点。因此，心形线通过映射 $w(z) = \sqrt z - 1$ 被映射为单位圆。

因为 $w(z)=\sqrt z - 1$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上是可导的，且导数不为0，所以 $w$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上是保角映射。

hbghlyj

考虑映射 $(x,y)$ 到 $(\rho,\theta)$，其中 $\cases{x = e^\rho \cos \theta\\y = e^\rho \sin \theta}$。
逆映射由 $\cases{\rho = \log\sqrt{x^2 + y^2}\\\theta = \arctan(y/x)}$ 给出。
通过使用复数 $(x,y)=x+iy$，变换可以写成 $x+iy=e^{\rho +i\theta }$。也就是说，它是由$\exp$函数给出的。所以它是一个保角映射。维基百科文章：对数极坐标 en.wikipedia.org/wiki/Log-polar_coordinates

坐标系 (n = 25)

我们看到坐标线是正交的，并且在变换后仍然是正交的。这是变换保角的结果。


二维的 Möbius变换为 $z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$（它们是复射影直线 $\mathbb{CP}^1$ 的自同构）
在二维平面中，我们有丰富的 保角映射，不仅是Möbius变换 $z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$，你还可以取任何 $z$ 的可微函数，也就是$x,y$的二元函数使得符合Cauchy-Riemann方程

然而，在三维空间及更高维空间中，保角映射仅仅是Möbius变换 en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation#Higher_dimensions，因此保角映射非常有限。
这是 Liouville 定理的结果 en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(conformal_mappings) 说在 $\mathbb{R}^n$ 中对于 $n>2$ 只有非常有限的保角映射—Möbius变换—它们是以下三种变换的复合：

• 相似变换(en.wikipedia.org/wiki/Homothetic_transformation)（平移和均匀缩放）
• 等距变换(en.wikipedia.org/wiki/Isometry)（旋转和反射）
• 反演(en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry)

前两种变换会将圆柱映射到圆柱，而反演仅将球面和平面映射到平面，因此它们不能将圆柱的表面映射到平面。

有一本不错的书叫《反演理论与保角映射》 bookstore.ams.org/stml-9 详细讨论了这个定理。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-18 11:06
Liouville 定理 说在 $\mathbb{R}^n$ 中对于 $n>2$ 只有非常有限的保角映射—Möbius变换—它们是以下三种变换的复合

fse.studenttheses.ub.rug.nl/9888/1/Scriptiegoed.pdf
论文第五章证明了 Liouville 定理。给出了两种不同的证明。第一种证明只在 $\mathbb R^3$ 中成立，因为应用了三正交系统。