求圆环点的像

hbghlyj

如图1所示，D、E、F分别为三角形ABC中边BC、AC、AB的中点，图2为图1的成像平面。

求圆环点的像，在PDF中的方法分两步：
A. Solving Vannishing Points of Edges of the Triangle
B. Solving Image Coordinates of Circular Points
用到了Laguerre Theorem $\theta=\frac{\ln \mu }{2 i}$ 又见 圆环点，迷向直线和拉格尔定理

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2023-7-19 23:29 上传

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去除下载IP的脚本：
import fitz
doc = fitz.open("Innovation_experiment_based_on_circular_points_and_Laguerre_theorem_in_computer_vision.pdf")
for page in doc:
    xref = page.get_contents()[-1]
    doc.update_stream(xref,"")
doc.save("output.pdf", garbage=4, deflate=True, clean=True)
其中xref = page.get_contents()[-1]这行是为了把最末stream去除，因为(凭经验)下载IP都被加在页尾

hbghlyj

用Laguerre定理，求出在一点保角的射影变换：
设$P$是射影变换$T$的不动点。$T$在$P$保角$\iff$过$P$的2条迷向直线在$T$不变。
取$P=[0,0,1]$，则$(1,\pm i,0)$为$(T^{-1})^\text{tr}$的2个特征向量。
设3阶矩阵$T=(c_1\,c_2\,c_3)$，其中$c_1,c_2,c_3\inR^3$.
设$(1,i,0)$的特征值为$a+bi$，即
$(c_1\,c_2\,c_3)\pmatrix{1\\i\\0}=(a+bi)\pmatrix{1\\i\\0}\implies c_1+ic_2=\pmatrix{a+bi\\-b+ai\\0}\implies c_1=\pmatrix{a\\-b\\0},c_2=\pmatrix{b\\a\\0}$
设$c_3=\pmatrix{d\\e\\f}$得$T=\pmatrix{a&b&d\\-b&a&e\\0&0&f}$，设$a=\cosα,b=-\sinα$.
$(0,0,1)$是$T$的不动点，所以$T=\pmatrix{\cosα&-\sinα&0\\\sinα&\cosα&0\\0&0&f^{-1}}$.
但是$T$不一定是旋转位似！
取一个实矩阵$T$相似于$\pmatrix{0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1}$很容易：
\[T
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & -3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]
显然$T$不是旋转位似。
平面变换$(-\frac y{x-3y+1},\frac x{x-3y+1})$在(0,0)求Jacobian：

1. x, y = var('x y')
3. f1 = -y / (x - 3 * y + 1)
4. f2 = x / (x - 3 * y + 1)
6. [[diff(f1, x).subs(x==0,y==0), diff(f1, y).subs(x==0,y==0)], [diff(f2, x).subs(x==0,y==0), diff(f2, y).subs(x==0,y==0)]]

复制代码

输出[[0, -1], [1, 0]]即旋转$\frac\pi2$.

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2#的$P=[0,0,1]$就是陈传麟的书上的“蓝标准点”$O_3$，从红平面到蓝平面的射影变换在$O_3$局部保角。

度量一个蓝角,需将该蓝角的顶点"蓝平移"到$O_3$处